リプシッツ連続

解析学におけるリプシッツ連続性（リプシッツれんぞくせい、テンプレート:Lang-en-short）は、ルドルフ・リプシッツに名を因む、函数のより強い形の一様連続性である。直観的には、リプシッツ連続函数は変化の速さが制限される。即ち、適当な有限値の実数が存在して、その函数のグラフ上の任意の二点を結ぶ直線の傾きの絶対値はその実数を超えない。この上界をその函数の「リプシッツ定数」（あるいはテンプレート:仮リンク）と呼ぶ。例えば一階微分が有界な任意の函数はリプシッツである。

微分方程式論において、リプシッツ連続性は初期値問題の解の存在と一意性を保証するピカール–リンデレフの定理の中心的な条件である。リプシッツ連続性の特別な場合で、縮小性はバナッハの不動点定理において用いられる。

実数直線の有界閉集合上で定義される函数に関して、以下のような包含関係の鎖が知られている:

テンプレート:Math

また、

テンプレート:Math

も成り立つ。

定義

リプシッツ連続函数に対し、適当な双錐 (白) が存在して、双錐の頂点が函数のグラフ上を移動するように双錐を平行移動するとき、常にそのグラフが双錐の外側 (緑) にあるようにできる。

テンプレート:Mvar は集合 テンプレート:Mvar 上の距離函数、テンプレート:Mvar は集合 テンプレート:Mvar 上の距離函数として二つの距離空間 テンプレート:Math と テンプレート:Math が与えられたとき（例えば、テンプレート:Mvar を実数全体の成す集合 テンプレート:Math に距離函数 テンプレート:Math を入れたもの、および テンプレート:Mvar を テンプレート:Math の部分集合とすることができる）。このとき、写像 テンプレート:Math がリプシッツ連続（あるいは単にリプシッツ）であるとは、実定数 テンプレート:Math が存在して

$d_Y(f(x_1),f(x_2))\le K{d}_X(x_1,x_2)(\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X)$

を満たすときに言う。このような テンプレート:Mvar, あるいはそのうち最小のものを、関数 テンプレート:Mvar のリプシッツ定数と呼ぶ。テンプレート:Math ととることができるとき、その関数はテンプレート:仮リンクと呼ばれ、テンプレート:Math なら縮小写像と呼ばれる。

この不等式は テンプレート:Math のとき（自明な意味で）成り立つ。これを除けば、写像がリプシッツ連続であることの同値な別定義として、定数 テンプレート:Math が存在して、

$\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)}\le K(\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X)$

を満たすこととすることもできる。実多変数の実数値函数に対して、これが成り立つのは、任意の割線の傾きの絶対値が テンプレート:Mvar で抑えられるときであり、かつそのときに限る。函数のグラフ上の一点を通る傾き テンプレート:Mvar の直線全体の成す集合は円錐を成すから、したがって函数がリプシッツ連続であるための必要十分条件は、その函数のグラフが至る所この錐のまったく外側にあることである。

写像 テンプレート:Mvar が局所リプシッツ連続であるとは、任意の テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mvar の近傍 テンプレート:Mvar を適当に選べば テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar への制限 がリプシッツ連続であるときに言う。あるいは同じことだが、テンプレート:Mvar が局所コンパクト距離空間ならば、テンプレート:Mvar が局所リプシッツであるための必要十分条件は テンプレート:Mvar の任意のコンパクト部分集合上でリプシッツ連続となることである。局所コンパクトでないときには、これは必要だが十分でない。

より一般に、テンプレート:Mvar 上で定義された関数 テンプレート:Mvar がヘルダー連続である、または テンプレート:Mvar 上で次数 テンプレート:Math のヘルダー条件を満足するとは、定数 テンプレート:Mvar が存在して

$d_Y(f(x),f(y))<M{d}_X(x,y{)}^{\alpha }(\mathrm{\forall }x,y\in X)$

が成立するときにいう。次数 テンプレート:Math のヘルダー条件を次数 テンプレート:Mvar の一様リプシッツ条件とも呼ぶ。

テンプレート:Math が存在して

$\frac{1}{K}{d}_X(x_1,x_2)\le d_Y(f(x_1),f(x_2))\le K{d}_X(x_1,x_2)$

が成り立つならば、テンプレート:Mvar は双リプシッツ連続あるいは単に双リプシッツ (bilipshitz) であると言う。双リプシッツ連続写像は単射であり、また実はその像の上への同相写像である。双リプシッツ連続であることは、その（像の上で定義される）逆写像もリプシッツであるような単射リプシッツ連続写像であることと同じである。全射な双リプシッツ連続写像は、ちょうど距離空間の間の同型写像になる。

例

リプシッツ連続函数

• 実数全体で定義された函数 テンプレート:Math はリプシッツ定数 テンプレート:Math を持つリプシッツ函数である。実際これは至る所微分可能で、その一階導函数の絶対値は テンプレート:Math で抑えられる（後述の#性質節最初の項目を参照）。
• 同様に正弦函数 テンプレート:Math もリプシッツ連続である。これもその導函数（つまり余弦函数 テンプレート:Math ）が絶対値に関して テンプレート:Math で抑えられることによる。
• 実数全体で定義された函数 テンプレート:Math はリプシッツ定数 テンプレート:Math のリプシッツ連続函数である（逆向きの三角不等式による）。これは微分可能でないリプシッツ連続函数の例である。より一般に、ベクトル空間上で定義されたノルムは、付随する距離函数に関するリプシッツ連続函数（リプシッツ定数 テンプレート:Math）である。

リプシッツ連続だが至る所微分可能とはならない例

• テンプレート:Math（上記参照）

連続だが（大域的）リプシッツ連続でない

• 閉区間 テンプレート:Math 上定義された函数 テンプレート:Mathはリプシッツ連続でない。この函数は テンプレート:Mvar の極限で、導函数が無限大に発散するから、いくらでも傾きが急になる。にも拘らずこの函数は一様連続であり、かつ テンプレート:Math に対して テンプレート:Math-級ヘルダー連続である。

可微分だが（大域）リプシッツ連続でない

• 函数 テンプレート:Math かつ テンプレート:Math を閉区間 テンプレート:Math へ制限したものは、コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。

解析的だが（大域）リプシッツでない

• 指数函数は テンプレート:Math でいくらでも傾きがおおきくなるから、大域リプシッツ函数とはならないが、それにもかかわらず解析函数になる。
• 実数全体で定義された函数 テンプレート:Math はリプシッツでない（テンプレート:Math でいくらでも傾きが大きくなる）。しかしこれは局所リプシッツである。

性質

• 至る所微分可能な函数 テンプレート:Math がリプシッツ連続（リプシッツ定数 テンプレート:Math を持つ）であるための必要十分条件は、それが有界な一階導函数を持つことである。一方の含意は平均値の定理から従う。特に、任意の連続的微分可能な函数は局所リプシッツである（連続函数は局所有界だから、その連続な導函数も局所有界である）。
• リプシッツ函数 テンプレート:Math は絶対連続であり、したがって殆ど至る所微分可能（つまりルベーグ測度 テンプレート:Math の集合の外側の任意の点で微分可能）である。その導函数は絶対値がリプシッツ定数を本質的上界としてテンプレート:仮リンクである。また、テンプレート:Math に対して、差分 テンプレート:Math は導函数 テンプレート:Math の区間 テンプレート:Math 上の積分に等しい。
  • 逆に、テンプレート:Math が絶対連続、従って殆ど至る所微分可能であるとし、テンプレート:Math を満たすならば、テンプレート:Mvar はリプシッツ定数が高々 テンプレート:Mvar のリプシッツ連続である。
  • より一般にラーデマッハーの定理は、この結果をユークリッド空間の間のリプシッツ写像に対して拡張する。テンプレート:Mvar を テンプレート:Math の開集合として、リプシッツ写像 テンプレート:Math が殆ど至る所微分可能とする。さらに テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の最小のリプシッツ定数とすれば、全微分 テンプレート:Mvar が存在する限り テンプレート:Math が成立する。
• 可微分リプシッツ写像 テンプレート:Math に対し、不等式 テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の最小リプシッツ定数 テンプレート:Mvar について成り立つ。さらに、テンプレート:Mvar が凸ならば等号が成り立つ。
• 二つの距離空間の間のリプシッツ連続写像の列 テンプレート:Math は、各 テンプレート:Mvar が適当な定数 テンプレート:Mvar で抑えられるリプシッツ定数を持つものとする。テンプレート:Mvar が写像 テンプレート:Mvar に一様収束するならば テンプレート:Mvar もまた同じ定数 テンプレート:Mvar で抑えられるリプシッツ定数を持つリプシッツ連続写像になる。特にここから、コンパクト距離空間上定義される実数値函数でリプシッツ定数が特定の値で抑えられるもの全体の成す集合が、連続函数全体の成すバナハ空間の閉凸部分集合となることが導かれる。しかし、「非有界」なリプシッツ定数を持つ函数列に対してはこの結果は成り立たない。実は、コンパクト距離空間上のリプシッツ函数全体の成す空間は連続函数全体の成すバナッハ空間において稠密である（ストーン–ヴァイヤストラスの定理からの初等的な帰結）。
• 任意のリプシッツ連続写像は一様連続であり、したがってテンプレート:仮リンク連続である。より一般に、有界なリプシッツ定数を持つ函数の集合は同程度連続な函数の集合を成す。テンプレート:Math が有界なリプシッツ定数を持つ一様有界列ならば収束する部分列を持つことがアルツェラ–アスコリの定理から従う。前段落の結果から、この列の極限函数もまたリプシッツであり、そのリプシッツ定数は同じ定数を上界に持つ。特に、コンパクト距離空間 テンプレート:Mvar 上で定義されたリプシッツ定数 テンプレート:Math を持つ実数値リプシッツ函数全体の成す集合は、連続函数全体の成すバナハ空間 テンプレート:Math の局所コンパクト凸部分集合になる。
• 共通のリプシッツ定数を持つリプシッツ連続函数の族 テンプレート:Math に対し、函数 テンプレート:Math および テンプレート:Math は、それが少なくとも一点において有限な値をとるならば、また同じリプシッツ定数を持つリプシッツ連続函数となる。
• テンプレート:Mvar は距離空間 テンプレート:Mvar の部分集合で、テンプレート:Math はリプシッツ連続とするとき、テンプレート:Mvar の延長となるリプシッツ連続写像 テンプレート:Math が必ず存在して、テンプレート:Mvar と同じリプシッツ定数を持つ（テンプレート:仮リンクも参照）。くだんの延長は、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 上でのリプシッツ定数を テンプレート:Mvar として テンプレート:Math で与えられる。

リプシッツ多様体

テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の二つの開集合とする。写像 テンプレート:Math が双リプシッツ (bi-Lipschitz) とは、それが像の上へのリプシッツ同相写像であり、かつその逆写像もまたリプシッツとなるときにいう。

双リプシッツ写像を用いると、双リプシッツ同相写像に関するテンプレート:仮リンク (pseudogroup) 構造が存在するから、テンプレート:仮リンクの上にリプシッツ構造を定義することができる。この構造はテンプレート:仮リンクと滑らかな多様体の構造の中間である。実はPL構造は一意的なリプシッツ構造を生じるから、その意味でリプシッツ構造は可微分構造のほうに「近い」。

片側リプシッツ連続

テンプレート:Math は変数 テンプレート:Mvar に関する上半連続写像で、テンプレート:Mathは閉凸集合とする。このとき、適当な定数 テンプレート:Mvar に対して

$(x_1-x_2{)}^T(F(x_1)-F(x_2))\le C\Vert x_1-x_2{\Vert }^2(\mathrm{\forall }{x}_1,x_2)$

を満たすならば、テンプレート:Mvar は片側リプシッツ (one-sided Lipschitz) である。

このような写像 テンプレート:Mvar が、非常に大きなリプシッツ定数 テンプレート:Mvar を持つが片側リプシッツ定数 テンプレート:Mvar は穏当な大きさあるいは負にさえなる、というようなことも起こり得る。そのような函数の例として

$F:{𝐑}^2\to 𝐑;F(x,y)=-50(y-\cos (x))$

はリプシッツ定数 テンプレート:Math および片側リプシッツ定数 テンプレート:Math を持つ。片側リプシッツだがリプシッツでないような例は テンプレート:Math (テンプレート:Math で与えられる。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク