縮小写像

縮小写像とは、距離空間 (M,d) における M からM への写像 f であり、ある定数 0 < k < 1 の実数が存在して

$d(f(x),f(y))\le kd(x,y).$

という条件が全ての x, y ∈ M について成り立つ写像であるテンプレート:Sfn。完備距離空間上の縮小写像は、ただ一つの不動点を持つテンプレート:Sfn。この定理は縮小写像の原理などとして知られるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。さらに、完備距離空間上の縮小写像 f の反復合成による点列 x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), … はその不動点に収束するテンプレート:Sfn。縮小写像の原理は、常微分方程式の解の存在と一意性の証明にも使われるテンプレート:Sfn。

縮小写像の m 個の組 f₁, f₂, …, f_m が与えられたときに、ℝ^d 上の全てのコンパクト集合の族 C をハウスドルフ距離によって完備距離空間にすると、任意の X ⊂ C について

$F(X)=f_1(X)\cup f_2(X)\cup \cdots \cup f_m(X)$

で定義される写像 F: C → C も縮小写像となるテンプレート:Sfn。F の不動点は K = f₁(K) ∪ f₂(K) ∪ … ∪ f_m(K) を満たすコンパクト集合として拡張され、自己相似集合と呼ばれるテンプレート:Sfn。したがって、どのコンパクト集合 X から出発しても、縮小写像の組 f₁, f₂, …, f_m はただ一つの自己相似集合を持ち、さらに F の反復合成による列 X, F (X), F (F (X)), F (F (F (X))), … はその自己相似集合に収束するテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

参考文献

• テンプレート:Cite book ja-jp
• テンプレート:Cite book ja-jp
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