常微分方程式

テンプレート:Differential equations 常微分方程式（じょうびぶんほうていしき、テンプレート:Lang-en-short）とは、微分方程式の一種で、未知関数が本質的にただ一つの変数を持つものである場合をいう。すなわち、変数 テンプレート:Mvar の未知関数 テンプレート:Math に対して、（既知の）関数 テンプレート:Mvar を用いて

$F(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n)}(t))=0(x^{(k)}(t):=\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{t}^k}x(t),\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}k=0,1,\dots ,n)$

という形にできるような関数方程式を常微分方程式と呼ぶ。テンプレート:Math は未知関数 テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 階の導関数である。未知関数が単独でない場合には、関数の組をベクトルの記法を用いて表せば次のようになる。

$𝑭(t,𝒙(t),{𝒙}^{(1)}(t),\dots ,{𝒙}^{(n)}(t))=0({𝒙}^{(k)}(t):=\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{t}^k}𝒙(t),\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}k=0,1,\dots ,n).$

ここで テンプレート:Mvar は

$\begin{array}{cc}& 𝑭(t,𝒙(t),{𝒙}^{(1)}(t),\dots ,{𝒙}^{(n)}(t))=(F_1(t,𝒙(t),{𝒙}^{(1)}(t),\dots ,{𝒙}^{(n)}(t)),\dots ,F_r(t,𝒙(t),{𝒙}^{(1)}(t),\dots ,{𝒙}^{(n)}(t))),\\ & 𝒙(t)=(x_1(t),\dots ,x_m(t))\end{array}$

を表す。この方程式系はしばしば連立常微分方程式と呼ばれる。

また、多くの テンプレート:Mvar 階常微分方程式は次のような形に書くことができる。

$x^{(n)}(t)=f(t,x(t),x^{(1)}(t),\dots ,x^{(n-1)}(t))(x^{(k)}(t):=\frac{{\mathrm{d}}^k}{\mathrm{d}{t}^k}x(t),\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}k=0,1,\dots ,n).$

常微分方程式の理論およびその研究を微分方程式論という。あるいはまた関数方程式論の名で微分方程式論を指すこともある。

線型常微分方程式

テンプレート:See also 常微分方程式が

$\frac{d^{n}x}{d{t}^n}+a_{n-1}(t)\frac{d^{n-1}x}{d{t}^{n-1}}+\cdots +a_0(t)x=b(t)$

の形に表されるとき線型であるという。ただし、テンプレート:Math および テンプレート:Math はテンプレート:Mvar を変数とする既知の関数である。テンプレート:Math の方程式は特に斉次 (テンプレート:En) な方程式と呼ばれ、そうでない方程式は非斉次 (テンプレート:En) な方程式と呼ばれる。

非線型常微分方程式

線型でない常微分方程式は非線型であると言われる。非線型方程式の解は一般に、線型方程式のそれに比べて複雑な様相を呈する。そのような例として、ローレンツ方程式やパンルヴェ方程式などがある。一方、求積法で解ける形の非線型方程式も数多く知られている。 以下に例を挙げておく 。

1階非線型常微分方程式

$y=x\frac{dy}{dx}+x^{n}f\left(\frac{dy}{dx}\right).$

$y=x\frac{dy}{dx}+y^{n}f\left(\frac{dy}{dx}\right).$

ここに、テンプレート:Mvar は実数であり、テンプレート:Math は既知関数である。

$\frac{dy}{dx}=\frac{y^{1-m}}{x^{1-n}}f\left(\frac{y^m}{x^n}\right).$　 テンプレート:Mvar は実数，ただし，テンプレート:Math，テンプレート:Mvar は既知関数。

$\frac{dy}{dx}=\frac{dA(x)}{dx}F\left(\frac{y}{A(x)}\right).$　 テンプレート:Math，テンプレート:Mvar は既知関数。

$\frac{dy}{dx}=B(x)F(y+A(x))-\frac{dA(x)}{dx}.$　 テンプレート:Math，テンプレート:Math，テンプレート:Mvar は，いずれも既知関数。

2階非線型常微分方程式

$y=x\frac{dy}{dx}+P(x){\left(\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right)}^n.$

$y=x\frac{dy}{dx}+f\left(\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right).$

上記の テンプレート:Math と テンプレート:Math は既知関数とする。

$y=x\frac{dy}{dx}+f\left(x^n\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right).$　 テンプレート:Mvar は実数，ただし，テンプレート:Math，テンプレート:Mvar は既知関数。

$x\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+(1+f(y))\frac{dy}{dx}=0.$　 テンプレート:Mvar(テンプレート:Mvar) は既知関数。

$x\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+(\alpha +\gamma y^n)\frac{dy}{dx}=0.$　　α, γ, テンプレート:Mvar は実数．ただし，テンプレート:Math。

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=f\left(\frac{\alpha +\beta x+\gamma y}{k+\ell x+my}\right).$　　テンプレート:Math は既知関数。$\alpha ,\beta ,\gamma ,k,\ell ,m$ は実数．ただし，$\gamma \ell -\beta m=0$。

連立常微分方程式

連立常微分方程式（simultaneous ordinary differential equations）は、 1 つの独立変数 テンプレート:Mvar と複数の未知関数 テンプレート:Math およびその導関数により構成される複数の方程式の組である。例えば、比較的簡単な例として、テンプレート:Mvar の 2 つの未知関数を テンプレート:Math とする。それらの一階の導関数を テンプレート:Math として、

$F(t,x_1,x_2,x{\text{'}}_1(t),x{\text{'}}_2(t))=0,$

$G(t,x_1,x_2,x{\text{'}}_1(t),x{\text{'}}_2(t))=0$

は一つの連立常微分方程式である。ただし、テンプレート:Mvar は既知関数である。

一般の連立常微分方程式は、1 つの独立変数と テンプレート:Mvar 個の未知関数およびその テンプレート:Mvar 階の導関数を含み、複数個の常微分方程式の組になる。

$F_k(t;x_1,\dots ,x_m;x_1^{(1)},\dots ,x_m^{(1)};\dots ;x_1^{(n)},\dots ,x_m^{(n)})=0,k=1,2,\dots ,r.$

ここで テンプレート:Math は、未知関数 テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 階の導関数である (テンプレート:Math)。 なお、連立常微分方程式を常微分方程式系（テンプレート:En）と呼ぶこともある。 これら テンプレート:Mvar 個の常微分方程式すべてを満足する関数の組 テンプレート:Math をその解という。

具体的な例を一つ示す。独立変数 テンプレート:Mvar の未知関数を テンプレート:Mvar とし、テンプレート:Mvar を定数とすると、

$\frac{dy}{dx}=az+b,$

$\frac{dz}{dx}=cy+d$

は、一階の連立常微分方程式の例である。一般的な連立常微分方程式は、求積法で解くのは困難であるが、一般性を含む連立常微分方程式の例として、求積法で解ける連立常微分方程式が多少知られている。 一例を挙げておく。

$\{\begin{array}{c}F(y,\frac{dz}{dx})=0,\\ G(z,\frac{dw}{dx})=0,\\ H(w,\frac{dy}{dx}\cdot {\left(\frac{dw}{dx}\right)}^{-1})=0.\end{array}$

テンプレート:Mvar は独立変数であり、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar を変数とする未知関数である。また、テンプレート:Mvar を既知関数とする。

関連文献

和書

• 藤原松三郎：「常微分方程式論」、岩波書店 (1930年)．
  • 藤原松三郎「常微分方程式論」岩波書店 (1930年) の現代仮名遣い版
• 吉江琢児：「微分方程式論」、共立出版 (1947年).
• フォーサイス(著)、粟野保、末岡清市、石津武彦(共訳)：「微分方程式」上巻、朝倉書店 (1947年).
• 福原満州雄：「微分方程式 上」、朝倉書店 (初版：1951年3月10日)。復刊版はISBN 4-254-11691-8 (2004年12月1日)。
• 福原満州雄：「微分方程式 下」、朝倉書店（初版：1952年6月25日）。復刊版はISBN 4-254-11692-6 (2004年12月1日)。
• 占部実：「微分方程式」、共立出版 (基礎数学講座8) (1955年11月20日).
• 齋藤利弥：「常微分方程式論」、朝倉書店(近代数学講座5) (1967年8月25日).
• コーエン、高野一夫（訳）：「コーエンの微分方程式：リー群論の応用」、森北出版（1971年5月15日）。POD版はISBN 978-4-627-07079-0 (2011年6月）.
• 吉田耕作：「微分方程式の解法 第2版」、岩波書店（岩波全書189）（1978年2月23日）。初版は1954年4月28日。
• 福原満洲雄：「常微分方程式 第2版」、岩波書店(岩波全書 116) (1980年5月23日). POD版はISBN 978-4-00-029015-9（2000年4月).
• レフ・セミョーノヴィチ・ポントリャーギン、千葉克裕(訳)：「常微分方程式 新版」、共立出版 (1981年2月).
• 高野恭一：「常微分方程式」、朝倉書店、ISBN 978-4-25411436-2 (初版1994年2月20日). 復刊版はISBN 978-4-254-11844-5 (2019年12月).
• 伊藤秀一：「常微分方程式と解析力学」、共立出版（共立講座 21世紀の数学 第11巻）、テンプレート:ISBN2, （1998年1月）.
• J.J.グレイ：「リーマンからポアンカレにいたる 線型微分方程式と群論」、シュプリンガ－フェアラーク東京、ISBN 4-431-70938-X（2002年12月10日）.
• 柴田正和：「常微分方程式の局所漸近解析」、森北出版 （2010年8月）.
• 大谷光春：「常微分方程式論」、サイエンス社 (2011年).
• 坂井秀隆：「常微分方程式」、東京大学出版会、ISBN 978-4-13-062960-7（2015年8月24日）.
• 岩見真吾、佐藤佳、竹内康博 ：「ウイルス感染と常微分方程式」、共立出版（シリーズ: 現象を解明する数学 / 三村昌泰, 竹内康博, 森田善久 編集）（2017年4月).

洋書

• Hartman, Philip (2002) [1964], Ordinary differential equations, Classics in Applied Mathematics, 38, Philadelphia: en:Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 978-0-89871-510-1, MR 1929104
• Ince, Edward L. (1944) [1926], Ordinary Differential Equations, en:Dover Publications, New York, ISBN 978-0-486-60349-0, MR 0010757
• Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, en:Dover Publications, ISBN 0-486-49510-8
• Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Polyanin, A. D. and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd ed.), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• Grimshaw, R. (2017). Nonlinear ordinary differential equations. Routledge.
• Arnolʹd, V. I., Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations. en:Springer Science & Business Media.
• Arnolʹd, V. I., Ordinary differential equations. Springer.
• Wolfgang Walter, Ordinary differential equations. Springer.
• Logemann, H., & Ryan, E. P. (2014). Ordinary differential equations: Analysis, qualitative theory and control. Springer.
• Hermann, M., & Saravi, M. (2014). A First Course in Ordinary Differential Equations. Analytical and Numerical Methods, Springer India.
• Chicone, C. (2006). Ordinary differential equations with applications. Springer Science & Business Media.
• Jeremy J. Gray: Linear Differential Equations and Group Theory from Riemann to Poincaré (2nd Ed.), Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4773-5 (2008).
• Fritz Schwarz: Algorithmic Lie Theory for Solving Ordinary Differential Equations, Chapman & Hall, ISBN 1-58488-889-X (2008).

関連項目

• 媒介変数
• 変数分離
• 求積法
• 複雑系

方程式

• パンルヴェ方程式
• リッカチ方程式
• フックス型微分方程式
• ガウスの微分方程式
• ベッセル関数
• ルジャンドルの微分方程式
• 微分方程式
• 線型微分方程式
• 複素微分方程式
• 偏微分方程式

数値計算

• NAG数値計算ライブラリ
• 硬い方程式
• 常微分方程式の数値解法
  • ルンゲ・クッタ法
  • 線型多段法
  • 狙い撃ち法