ガウスの微分方程式

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ガウスの微分方程式（ガウスのびぶんほうていしき）あるいは超幾何微分方程式（ちょうきかびぶんほうていしき）とはガウスにその名をちなむ、以下の形をした常微分方程式である[1][2][3]。

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ここで α, β, γ は複素定数である。

性質

特異点と厳密解

この微分方程式は x=0,1,∞ においてテンプレート:仮リンクを持ち、 それ以外に特異点を持たない[1][2][3]。 また各特異点での解はガウスの超幾何関数 F(α,β,γ;x) を使って以下の様に表せる事が知られている[1][2][3]。

x = 0 での解
y1,0(x)=F(α,β,γ;x)
y2,0(x)=x1−γF(α−γ+1,β−γ+1,2−γ;x)
x = 1 での解
y1,1(x)=F(α,β,α+β−γ+1;1−x)
y2,1(x)=(1−x)γ−α−βF(γ−α,γ−β,γ−α−β+1;1−x)
x = ∞ での解
y1,∞(x)=x−αF(α,α+1−γ,α−β+1;1/x)
y2,∞(x)=x−βF(β,β+1−γ,β−α+1;1/x)

変数変換でガウスの微分方程式に帰着する方程式

3点をテンプレート:仮リンクにもつフックス型微分方程式は変数変換でガウスの微分方程式に帰着する[1]。

脚注

テンプレート:脚注ヘルプ テンプレート:Reflist

参考文献

関連項目

一般化

退化・変形

外部リンク

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  1. ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 テンプレート:Harvtxt.
  2. ↑ 2.0 2.1 2.2 テンプレート:Harvtxt.
  3. ↑ 3.0 3.1 3.2 テンプレート:Harvtxt.
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