ルベーグ測度

数学におけるルベーグ測度（ルベーグそくど、テンプレート:Lang-en-short）は、ユークリッド空間上の長さ、面積、体積の概念を拡張したものである。名称はフランスの数学者アンリ・ルベーグにちなむ。体積には「互いに素な集合の体積は元の体積の和に等しい」という性質（加法性）がある。この性質を保ちながらより複雑な集合に対しても「体積」を定めることができるよう体積の概念を拡張できる。このような拡張は一意である。実解析、特にルベーグ積分で用いられる。体積と同様ルベーグ測度は値として テンプレート:Math をとりうる。解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、 テンプレート:Math の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り立たない）ものが存在することを選択公理によって証明できる。ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。以下の説明ではルベーグ可測な集合 テンプレート:Mvar の測度を テンプレート:Math で表す。

例

• 閉区間 テンプレート:Closed-closed の一次元ルベーグ測度は テンプレート:Math である。開区間 テンプレート:Open-open の一次元ルベーグ測度も閉区間との差集合（つまり両端点のみからなる二元から成る集合 テンプレート:Math）の測度が テンプレート:Math であることから、同じく テンプレート:Math である。
• 二次元の集合 テンプレート:Mvar が、一次元区間 テンプレート:Closed-closed と テンプレート:Closed-closed の 直積集合（つまり辺が軸に平行な長方形）であれば、テンプレート:Mvar の二次元ルベーグ測度は、一次元ルベーグ測度の積 テンプレート:Math に等しい。
• 可算集合のルベーグ測度は必ず テンプレート:Math である。カントール集合は、測度 テンプレート:Math の非可算集合の例である。

性質

テンプレート:Mvar-次元ユークリッド空間 テンプレート:Math の テンプレート:Mvar-次元ルベーグ測度 テンプレート:Mvar あるいは簡単に テンプレート:Mvar は次のような性質を持つ。

1. テンプレート:Mvar を一次元区間の直積： テンプレート:Math とする。このとき テンプレート:Mvar はルベーグ可測で テンプレート:Math である。ただしここで、テンプレート:Math は区間 テンプレート:Mvar の長さを意味している。
2. テンプレート:Mvar をどの二つも互いに素な高々可算個のルベーグ可測集合の合併とするとき、テンプレート:Mvar はルベーグ可測で テンプレート:Math は、各集合の測度の和に等しい。
3. テンプレート:Mvar がルベーグ可測ならば、テンプレート:Mvar の補集合も可測である。
4. 任意のルベーグ可測集合 テンプレート:Mvar について テンプレート:Math である。
5. ルベーグ可測集合 テンプレート:Mvar について、テンプレート:Math である。
6. 可算個のルベーグ可測集合の和集合や共通部分は、ルベーグ可測である。
7. テンプレート:Math の開集合や閉集合はルベーグ可測である。
8. テンプレート:Math となるルベーグ可測集合 テンプレート:Mvar (これを零集合という) について、テンプレート:Mvar の部分集合はすべて零集合である。
9. テンプレート:Mvar をルベーグ可測集合、テンプレート:Mvar を テンプレート:Math の元とする。テンプレート:Mvar による テンプレート:Mvar の平行移動を テンプレート:Math と定義するとき、テンプレート:Math はルベーグ可測で テンプレート:Mvar と測度が同じである。

ルベーグ測度の構成

ルベーグ測度の現代的な構成はカラテオドリの拡張定理を用いた以下のものである。

いま自然数 テンプレート:Mvar を固定する。テンプレート:Math 内の（テンプレート:Mvar-次元）区間あるいは超矩形 テンプレート:Lang とは、（一次元）区間の直積

$B=\prod _{i=1}^n[a_i,b_i]$

の形（但し、テンプレート:Math であるものとする）で書かれた テンプレート:Math の部分集合の総称である。この区間 B の容積 テンプレート:Math は

$\mathrm{vol}(B):=\prod _{i=1}^n(b_i-a_i)$

で与えられる。テンプレート:Math の（高々）可算個の区間からなる区間族を総称して、テンプレート:Math の区間塊という。

テンプレート:Math の任意の部分集合 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Math の区間塊をテンプレート:Mathbf とするとき、テンプレート:Mvar のルベーグ外測度 テンプレート:Math を

${\lambda }^{*}(A):=\underset{𝐁}{\inf }\{\sum _{B\in 𝐁}\mathrm{vol}(B)\}$

で定める。ただしここでの下限は、集合 テンプレート:Mvar を被覆する区間塊 テンプレート:Mathbf の選び方すべてに亘ってとるものとする（そのような被覆が存在しない場合の下限は テンプレート:Math と決めておく）。

さらに、テンプレート:Math の部分集合 テンプレート:Mvar がルベーグ可測であるとは、テンプレート:Math の任意の部分集合 テンプレート:Mvar に対して、カラテオドリの条件：

${\lambda }^{*}(S)={\lambda }^{*}(S\cap A)+{\lambda }^{*}(S-A)$

を満たすこととする。

ルベーグ可測な集合全体は完全加法族を為す。そうしてルベーグ可測集合 テンプレート:Mvar に対するルベーグ測度 テンプレート:Mvar を テンプレート:Math で定義する。

ヴィタリの定理によれば、実数全体 テンプレート:Mathbf の部分集合でルベーグ可測ではないものが存在する。

さらに一般に、テンプレート:Math の任意の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する。

他の測度との関係

• ボレル測度が定義される集合については、ルベーグ測度と一致する。しかし、ボレル可測でないがルベーグ可測な集合も多く存在する。ボレル測度は平行移動不変だが、完備ではない。
• 局所コンパクト群で定義されるハール測度はルベーグ測度の一般化である。
• ハウスドルフ測度(参考:ハウスドルフ次元)は、テンプレート:Math 上のn次元以下の集合の測度を決めるのに役立つルベーグ測度の一般化である。

その他

ルベーグ可測でない集合の "奇妙な" ふるまいとしては、選択公理の結果であるバナッハ＝タルスキーのパラドックスが挙げられる。

歴史

アンリ・ルベーグが1899年から1901年にかけてフランスの科学誌「テンプレート:Ill2」に投稿した 6 報の論文のうち、最初のものを除く 5 報が測度に関するものであった。その内容は、続く1902年に、彼の博士論文「積分・長さ・面積」の一部として発表された。

関連項目

• 測度
• ルベーグ積分
• ルベーグの密度定理
• 完全加法族
• 外測度

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:Nlab
• テンプレート:ProofWiki