ルベーグ外測度

テンプレート:出典の明記 数学におけるルベーグ外測度（ルベーグがいそくど、テンプレート:Lang-en-short, Lebesgue outer measure）は、 テンプレート:Math の各部分集合に対しそれが占める体積に相当する非負拡大実数を対応付ける集合函数である。

現代的なルベーグ測度の構成は、この外測度の概念を通じて与えられる。

性質

• 区間 $I=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \dots \times [a_n,b_n](a_i\le b_i)$ に対し $${\mu }^{*}(I)=(b_1-a_1)(b_2-a_2)\cdots (b_n-a_n).$$
• 特に ${\mu }^{*}(\mathrm{\varnothing })=0.$
• 劣加法性: ${\mu }^{*}\left(\bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{E}_j\right)\le \sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }^{*}(E_j).$
• 特に単調性: $A\subseteq B⟹{\mu }^{*}(A)\le {\mu }^{*}(B).$
• 平行移動不変性: $A_{\lambda }:=\{x+\lambda \mid x\in A\}$ と置けば $${\mu }^{*}(A)={\mu }^{*}(A_{\lambda }).$$
• 線型変換 テンプレート:Math に対し $TA:=\{Tx\mid x\in A\}$ と書けば $${\mu }^{*}(TA)=|T|{\mu }^{*}(A)$$ が成り立つ。ただし テンプレート:Math は変換の行列式である。

定義

基本集合 $I=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times \cdots \times [a_n,b_n](a_i\le b_i)$ に対し、その体積を $\mathrm{vol}(I):=(b_1-a_1)(b_2-a_2)\cdots (b_n-a_n)$ と定義する。

全体集合 テンプレート:Math を区間の可算列によって被覆できる（なんとなれば ${ℝ}^n\subseteq \bigcup _{j=1}^{\mathrm{\infty }}[-j,j{]}^n$ が成立することをみればよい）から、テンプレート:Math の任意の部分集合 テンプレート:Mvar が上記の基本集合の可算合併で被覆できることは明らかな事実である。そこで テンプレート:Mvar のルベーグ外測度を $${\mu }^{*}(E):=\inf \{\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\text{vol}(I_j):\bigcup I_j\supseteq E\}$$ と定義する。ただし下限 inf は テンプレート:Mvar を被覆する任意の基本集合列 テンプレート:Mvar にわたってとるものとする。

これにより外測度 ${\mu }^{*}:2^{{ℝ}^n}\to {ℝ}^{+}\cup \{\mathrm{\infty }\}=[0,\mathrm{\infty }]$ が定まる。

零集合

テンプレート:Math の部分集合 テンプレート:Mvar がルベーグ測度零またはルベーグ零集合であるとは、そのルベーグ外測度の値が零となるときに言う。これはルベーグの測度論においては、外測度零の任意の集合が可測でありかつその任意の部分集合が測度零であるという形で生じる。

関連項目

• 測度
• 外測度

外部リンク

• テンプレート:Nlab
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:ProofWiki