微分環

テンプレート:出典の明記 数学において、微分環（びぶんかん、テンプレート:Lang-en-short）、微分体（びぶんたい、テンプレート:Lang-en-short）、微分多元環（びぶんたげんかん、テンプレート:Lang-en-short）は、それぞれ有限個のテンプレート:Ill2（加法的または線型な単項演算で積の微分法則（ライプニッツ則）を満足する）を備えた環、体、多元環である。微分環の微分はしばしば テンプレート:Mvar 等の記号を用いて表される。微分体の自然な例として、複素数体上の一変数有理関数体 テンプレート:Math に微分として普通の意味での微分 テンプレート:Math をとったものを挙げることができる。

そのような代数系自身の研究およびそれら代数系の微分方程式の代数的研究に対する応用を研究する分野を微分代数学 (Differntial Algebra) と呼ぶ。微分環はテンプレート:Ill2が導入した。

微分環

環 テンプレート:Mvar とその上の写像 テンプレート:Math の組 テンプレート:Math が微分環であるとは、二つの条件 $$\begin{array}{cc}& \partial (x+y)=\partial x+\partial y\\ & \partial (xy)=(\partial x)y+x(\partial y)\end{array}(\mathrm{\forall }x,y\in R)$$ を満たす、すなわち テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の加法群の間の準同型（加法的写像）で積に関してライプニッツ則を満足するものであるときに言う。注意すべきは、ここで環は非可換となる場合もありうるから、通常よく用いられる微分を後ろに書くある種の標準形 テンプレート:Math は積の可換性が保証されない場面では適切でないことである。

作用素のレベルで見れば、環の乗法を テンプレート:Math として $$\partial \circ M=M\circ (\partial \times \mathrm{id})+M\circ (\mathrm{id}\times \partial )$$ なる等式として積の法則を書くこともできる。ただし、テンプレート:Math は写像の直積で、各対 テンプレート:Math を対 テンプレート:Math へ写す。

微分体

微分体は、微分を備える可換体 テンプレート:Mvar を言う。ここで、微分は体の構造と両立する（つまり除法と整合する）ようなものをとるべきであるが、よく知られた商の微分法則 $$\partial \left(\frac{u}{v}\right)=\frac{\partial (u)v-u\partial (v)}{v^2}$$ は積の法則から導かれる。実際に $\partial (\frac{u}{v}\times v)=\partial (u)$ が成り立つべきところ、左辺に積の法則を適用して $\partial (\frac{u}{v})v+\frac{u}{v}\partial (v)=\partial (u)$ となるから、テンプレート:Math で整理すれば所期の式を得る。

微分体 テンプレート:Mvar に対してその定数体 (テンプレート:En) は テンプレート:Math で与えられる。

微分多元環

体 テンプレート:Mvar 上の微分多元環は、スカラー乗法と両立する微分を備えた テンプレート:Mvar-多元環 テンプレート:Mvar を言う。すなわち、各微分 テンプレート:Mvar は係数体と元ごとに可換: $$k\in K⟹\partial (kx)=k\partial x(\mathrm{\forall }x\in A)$$ である。これは作用素のレベルでは、スカラー乗法を定義する環準同型 テンプレート:Math を用いて $\partial \circ M\circ (\eta \times \mathrm{id})=M\circ (\eta \times \partial )$ と書ける

リー環上の微分

体 テンプレート:Mvar 上のリー環 $𝔤$ 上の微分 テンプレート:Mvar とは、テンプレート:Mvar-線型写像 $\partial :𝔤\to 𝔤$ であって、リー括弧積に関するライプニッツ則 $$\partial ([a,b])=[a,\partial (b)]+[\partial (a),b]$$ を満たすものをいうのであった。任意の $a\in 𝔤$ に対し テンプレート:Math（つまり テンプレート:Math はリー環の随伴表現）が $𝔤$ 上の微分となることはヤコビの等式による。このように得られる微分を、リー環 $𝔤$ の内部微分と呼ぶ。

リー環の内部微分を、その普遍包絡環へ延長して、普遍包絡環を微分多元環とすることができる。

例

• テンプレート:Mvar が単位的多元環ならば、その乗法単位元を テンプレート:Math として テンプレート:Math である（テンプレート:Math）。従って、例えば テンプレート:Nowrap の微分体 テンプレート:Mvar は、常に有理数体を テンプレート:Mvar の定数体の部分体として含む。
• 任意の環は、零準同型（その任意の元を零元に写す）を自明な微分とみて、微分環である。
• 一変数有理係数有理式体 テンプレート:Math は、テンプレート:Math と正規化することで決まる、微分体として一意な構造を持つ（体の公理および微分の公理は、微分が テンプレート:Mvar に関する通常の微分となることを保証する）。例えば、積の可換性と積の微分公式により、テンプレート:Math が成り立つ。

微分体 テンプレート:Math は微分方程式 テンプレート:Math の解を持たないが、指数関数 テンプレート:Mvar を含むより大きい微分体に拡大して、この微分方程式がそこで解を持つようにすることができる。任意の微分方程式系に対する解を有する微分体をテンプレート:Ill2という。自然な代数的もしくは幾何学的対象としては現れないが、このような微分体は存在する。（濃度を適当に上から抑えるとき）すべての微分体は、単一の大きな微分的閉体の中に埋め込める。微分体は、微分ガロア理論の研究対象である。

• 自然に生じる微分の例として、偏微分、リー微分、パンシェルル微分、多元環の元に関する交換子等がある。

擬微分作用素の環

微分環および微分多元環 テンプレート:Mvar は、しばしばそれらの上の擬微分作用素の環 $$R(({\xi }^{-1}))=\{\sum _{n<\mathrm{\infty }}{r}_n{\xi }^n:r_n\in R\}$$ を通じて研究される。この環の上に乗法は、$$(r{\xi }^m)(s{\xi }^n)=\sum _{k=0}^{m}r({\partial }^{k}s)(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}){\xi }^{m+n-k}$$ で定義される。$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})$ は二項係数である。 ここで、恒等式 $${\xi }^{-1}r=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n({\partial }^{n}r){\xi }^{-1-n}$$ には恒等式 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{n})=(-1{)}^n$ および $r{\xi }^{-1}={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\xi }^{-1-n}({\partial }^{n}r)$ が用いられていることに注意。

関連項目

• 微分ガロア理論
• ケーラー微分
• テンプレート:Ill2
• D加群: 様々な微分作用素が作用する代数構造
• 微分次数環
• テンプレート:Ill2
• 可換環上の微分法
• テンプレート:Ill2
• テンプレート:Ill2
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関連文献

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外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:Nlab
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:SpringerEOM