パンシェルル微分

数学におけるパンシェルル微分（パンシェルルびぶん、テンプレート:Lang-en-short）は多項式環上の線型作用素に対し、それと不定元による乗算作用素との交換子をとることによって与えられる新たな線型作用素である。この概念はイタリアの数学者テンプレート:仮リンク（1853–1936）の名にちなむ。

定義

\tilde{x} : 𝕂 [x] \to 𝕂 [x]; p = {p (x)} \mapsto \tilde{x} p = {x p (x)}

はテンプレート:Mvar による掛け算を行う作用素とする。

T^{'} : = [T, \tilde{x}] = T \circ \tilde{x} - \tilde{x} \circ T = - ad (x) T,

すなわち任意のテンプレート:Math に対し

T^{'} {p (x)} = T {x p (x)} - x T {p (x)}

を満たす線型自己準同型作用素である。

任意の交換子がそうであるように、パンシェルル微分テンプレート:Math は自己準同型環テンプレート:Math 上のテンプレート:仮リンク（導分）である。すなわち、自己準同型環テンプレート:Math に属する任意の二つの線形作用素テンプレート:Mvar に対し、

が成立する。

通常の微分テンプレート:Math は多項式に対する作用素と見なせる。直接的な計算により、そのパンシェルル微分はテンプレート:Math（右辺のテンプレート:Math はテンプレート:Math 倍する乗算作用素）となり、数学的帰納法により

(D^{n})^{'} = (\frac{d^{n}}{d x^{n}}) = n D^{n - 1}

に一般化できる。このことから、微分作用素テンプレート:Math のパンシュレル微分

\partial^{'} = \sum n a_{n} \frac{d^{n - 1}}{d x^{n - 1}} = \sum n a_{n} D^{n - 1}

もまた微分作用素であることが分かり、したがってパンシェルル微分は微分作用素全体の成す環テンプレート:Math 上の微分子になる。

S_{h} = \sum_{n = 0} \frac{h^{n}}{n!} D^{n}

を考えることにより、そのパンシェルル微分

{S_{h}}^{'} = \sum_{n = 1} \frac{h^{n}}{(n - 1)!} D^{n - 1} = h \cdot S_{h}

を得る。すなわち、シフト作用素はパンシェルル微分の固有ベクトルであり、対応するスペクトルはスカラーの空間全体テンプレート:Math である。

離散時間デルタ作用素テンプレート:Math は、作用素として

δ = \frac{1}{h} (S_{h} - 1)

と書ける（積の順番に注意）から、そのパンシェルル微分テンプレート:Math はシフト作用素である。