商の微分法則

テンプレート:Calculus 微分積分学における商の法則（しょうのほうそく、テンプレート:Lang-en-short）は二つの可微分函数の比（商）となっている函数の導函数の計算を述べるものである。

主張

具体的に テンプレート:Mvar はともに可微分で テンプレート:Math として テンプレート:Math と書けば、この商 テンプレート:Mvar の微分は $$f^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{[h(x){]}^2}$$ で与えられる。 テンプレート:Math proof テンプレート:Math proof

例

1. テンプレート:Math の導函数を求めるのに商の法則が利用できる: $$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\tan x& =\frac{d}{dx}\frac{\sin x}{\cos x}\\ & =\frac{(\frac{d}{dx}\sin x)(\cos x)-(\sin x)(\frac{d}{dx}\cos x)}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\\ & =\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x.\end{array}$$

高階版

陰函数微分を用いれば、商の テンプレート:Mvar-階微分も（(テンプレート:Math)-階までの導函数を用いて）計算することができる。例えば、テンプレート:Math を両辺二回微分して テンプレート:Mvar について解けば $$f^{″}=\left(\frac{g}{h}\right)=\frac{g^{″}-2f^{\prime }{h}^{\prime }-f{h}^{″}}{h}$$ を得る。

関連項目

• 微分積分学の基本定理
• 解析学
• 積の微分法則