ダルブー導関数

テンプレート:Pathnavbox ダルブー導関数テンプレート:Refnest（テンプレート:Lang-en-short）とは、リー群に値を取る関数に対する導関数概念であり、（意味のある）「微分積分学の基本定理」の概念を定式化できる。

以下本項では特に断りがない限り、単に「関数」、「多様体」等といった場合はすべてテンプレート:Mvar級のものをあらわすとする。

動機

文献を参考にダルブー導関数を定義する動機を述べる。実数体上の関数

$f:ℝ\to ℝ$

の導関数

$f^{\prime }$

はテンプレート:Mvarそれ自身と同じく

$ℝ$

から

$ℝ$

への関数なので、

$f^{\prime }$

からテンプレート:Mvarを求める問題、すなわち

与えられた関数

$g:ℝ\to ℝ$

に対し、

$f^{\prime }=g$

となる関数

$f:ℝ\to ℝ$

を求めよ

という問題は意味を持ち、微分積分学の基本定理を使って解を求める事ができる。

それに対し、多様体から多様体への写像$f:M\to N$に対し、導関数$f_{*}:TM\to TN$からテンプレート:Mvarを求める問題は自明なものになってしまう。

なぜなら$f_{*}$の定義式の中にテンプレート:Mvarそれ自身の情報が「埋め込まれて」おり、接ベクトル$v_P\in T_{P}M$の$f_{*}$による像$f_{*}(v_P)$は$T_{f(P)}N$の元であるので、$f_{*}(v_P)$がどの点の接ベクトルなのかを調べる事でテンプレート:Mvarの像$f(P)$が再現できてしまうからである。

実数体上の関数$f:ℝ\to ℝ$に対してこの問題が意味を持つのは$f_{*}:TM\to TN$によるテンプレート:Mvarの像$f_{*}(v_P)$を原点$0\in ℝ$まで移動したものを導関数$f^{\prime }$としているので、テンプレート:Mvarそれ自身の情報が消し去られているからである。

ダルブー導関数は、テンプレート:Mvarの値域がリー群である場合に、実数体の場合と同様$f_{*}$の像を単位元$e\in G$まで移動する事で、$f_{*}$に埋め込まれているテンプレート:Mvarの情報を消し去った導関数概念である。すなわち、

$f:M\to G$

を多様体テンプレート:Mvarからリー群テンプレート:Mvarへの写像とするとき、テンプレート:Mvarの導関数$f_{*}:TM\to TG$による像にテンプレート:Mvarの元をかける事で$f_{*}$の像が単位元テンプレート:Mvarにおける接ベクトル空間$T_{e}G$（これはテンプレート:Mvarのリー代数$𝔤$に等しい）に移動したものを

${\omega }_f:TM\to 𝔤$

と書き、テンプレート:Mvarのダルブー導関数と呼ぶ。ダルブー導関数では

$f_{*}(v_P)$

を

$𝔤=T_{e}G$

に移動する事でテンプレート:Mvarの情報を消し去っているので、

与えられた

$\omega :M\to 𝔤$

に対し、

${\omega }_f=\omega$

となる関数

$f:M\to G$

を求めよ

という問題は非自明である。テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarが十分性質がよければ上記の問題は解を持つ事が知られており、これはダルブー導関数に対する「微分積分学の基本定理」であると解釈できる。

準備

ダルブー導関数について述べるための準備として、モーレー・カルタン形式を導入する。テンプレート:Math theoremモーレー・カルタン形式は以下を満たす：テンプレート:Math theoremここで$[\cdot ,\cdot ]$は$𝔤$上のリー括弧であり、$𝔤$-値1-形式テンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarに対し、$[\alpha ,\beta ](X,Y):=[\alpha (X),\beta (Y)]-[\alpha (Y),\beta (X)]$である。

上記の2式のうち下のものをモーレー・カルタンの方程式テンプレート:Refn（テンプレート:Lang-en-short）、もしくはリー群テンプレート:Mvarの構造方程式テンプレート:Refn（テンプレート:Lang-en-short）という。

定義

本節ではダルブー導関数を具体的に定式化する。

すでに述べたように$f:M\to G$のダルブー導関数とは、$f_{*}:TM\to TG$の像を群の元をかけることで$𝔤=T_{e}G$まで移動したものである。具体的には$P\in M$、$v_P\in T_{P}M$に対し、$f_{*}(v_P)$は$T_{f(P)}G$の元なので、$f(P{)}^{-1}$を左からかける演算$L_{f(P{)}^{-1}}$の導関数$L_{f(P{)}^{-1}}{}_{*}$を作用させた

${\omega }_f{|}_P:=L_{f(P{)}^{-1}}{}_{*}(f_{*}(v_P))$

がテンプレート:Mvarのダルブー導関数である。この事実とモーレー・カルタン形式の定義を照らし合わせる事で、ダルブー導関数を以下のように定式化できる事がわかる： テンプレート:Math theorem

モーレー・カルタン形式が構造方程式を満たすことから、以下が成立する事がわかる： テンプレート:Math theorem

微分積分学の基本定理テンプレート:Anchors

本節の目標はテンプレート:Mvarをダルブー導関数に持つ関数が存在する条件を記述する事である。

そのための準備として、まず「発展」という概念と「モノドロミー」という概念を定義する。

発展

テンプレート:Mvarの定義域が区間$I=[a,b]$の場合は、「微分積分学の基本定理」が成り立つ： テンプレート:Math theorem

上記の定理を多様体テンプレート:Mvar上の曲線に対して用いる事で以下の定義が得られる： テンプレート:Math theorem

モノドロミー

テンプレート:Mvarが構造方程式を満たせば、発展の終点はホモトピー不変である： テンプレート:Math theorem

よってテンプレート:Mvarの点テンプレート:Mvarにおけるテンプレート:Mvarの基本群${\pi }_1(M,P_0)$を考えると、$[c]\in {\pi }_1(M,P_0)$にテンプレート:Mvarの発展$\tilde{c}$の終点$\in G$を対応させる写像は代表元テンプレート:Mvarの取り方によらずwell-definedである。 テンプレート:Math theorem

定理の記述

モノドロミーを用いると、テンプレート:Mvarをダルブー導関数に持つ関数が存在する必要十分条件を特徴づける事ができる： テンプレート:Math theorem テンプレート:Math theorem

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book