接束

微分幾何学において、可微分多様体テンプレート:Mvar の接束（せっそく、テンプレート:Lang-en-short, 接バンドル、タンジェントバンドル）はテンプレート:Mvar の接空間の非交和テンプレート:Efnである。つまり、

T M : = ⨆_{x \in M} T_{x} M = ⋃_{x \in M} ({x} \times T_{x} M) = ⋃_{x \in M} {(x, v) ∣ v \in T_{x} M} .

ただしテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の点テンプレート:Mvar における接空間を表す。なので、テンプレート:Mvar の元は対テンプレート:Math、ただしテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の点でテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar における接ベクトル、と考えることができる。テンプレート:Math で定義される自然な射影

π : T M ↠ M

が存在する。この射影は各接空間テンプレート:Mvar を一点テンプレート:Mvar に写像する。

接束には（下のセクションで記述される）自然な位相が入る。この位相によって、多様体の接束はベクトル束（ファイバーがベクトル空間であるファイバー束）の典型的な例である。テンプレート:Mvar の断面はテンプレート:Mvar 上のベクトル場であり、テンプレート:Mvar の双対束は余接束で、テンプレート:Mvar の余接空間の非交和である。定義により、多様体テンプレート:Mvar がテンプレート:仮リンク (parallelizable) であることと接束が自明であることは同値である。定義により、多様体テンプレート:Mvar がテンプレート:仮リンクであることと接束テンプレート:Mvar が stably trivial、すなわちある自明束テンプレート:Mvar に対しホイットニー和 (Whitney sum) テンプレート:Nowrap が自明であることは同値である。例えば、n 次元球面テンプレート:Mvar はすべてのテンプレート:Mvar に対して枠付きであるが、（Bott-Milnor と Kervaire の結果によって）テンプレート:Math に対してのみ平行化可能である。

役割

接束の主な役割の1つは滑らかな関数の微分の定義域と終域を提供することである。すなわち、テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar を滑らかな多様体として、テンプレート:Math が滑らかな写像であれば、その微分は滑らかな写像テンプレート:Math である。

位相と滑らかな構造

接束には自然な位相（非交和位相ではない）が入り、それ自身多様体になる。テンプレート:Mvar の次元はテンプレート:Mvar の次元の 2 倍であるテンプレート:Efn。

テンプレート:Mvar 次元多様体の各接空間はテンプレート:Mvar 次元ベクトル空間である。テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar の開可縮部分集合であれば、テンプレート:Mvar からテンプレート:Math への微分同相であって各接空間テンプレート:Mvar からテンプレート:Math への線型同型に制限するものが存在する。しかしながら、多様体として、テンプレート:Mvar は積多様体テンプレート:Math に微分同相なわけではない。それがテンプレート:Math の形であるときには、接束は自明である (trivial) という。自明な接束は通常 'compatible な群構造' を伴った多様体に対して起こる。例えば、多様体がリー群のケース。単位円の接束は自明である、なぜならばそれは（積と自然な微分構造のもとで）リー群であるからだ。しかしながら自明な接束をもったすべての空間がリー群というのは正しくない。自明な接束をもった多様体をテンプレート:仮リンクと呼ぶ。多様体が局所的にユークリッド空間でモデルされるのとちょうど同じように、接束はテンプレート:Math 上で局所的にモデルされる、ただしテンプレート:Mvar はユークリッド空間の開部分集合である。

テンプレート:Mvar が滑らかなテンプレート:Mvar 次元多様体であれば、それはチャートテンプレート:Math のアトラスをもつ、ただしテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の開集合で

ϕ_{α} : U_{α} \to 𝐑^{n}

は微分同相である。テンプレート:Mvar 上のこれらの局所座標はテンプレート:Mvar とテンプレート:Math の間の同型を各テンプレート:Math に対して生じる。そうすると写像

{\tilde{ϕ}}_{α} : π^{- 1} (U_{α}) \to 𝐑^{2 n}

を

{\tilde{ϕ}}_{α} (x, v^{i} \partial_{i}) : = (ϕ_{α} (x), v^{1}, \dots, v^{n})

によって定義できる。これらの写像をテンプレート:Mvar の位相と滑らかな構造を定義するのに使う。テンプレート:Mvar の部分集合テンプレート:Mvar が開であることと

{\tilde{ϕ}}_{α} (A \cap π^{- 1} (U_{α}))

がテンプレート:Math において各テンプレート:Mvar に対して開であることは同値である。するとこれらの写像はテンプレート:Mvar の開部分集合とテンプレート:Math の間の同相写像でありしたがってテンプレート:Mvar の滑らかな構造のチャートとして仕える。 $π^{- 1} (U_{α} \cap U_{β})$ で重なるチャート上の変換関数は伴う座標変換からヤコビ行列から誘導され、したがってテンプレート:Math の開部分集合の間の滑らかな写像である。

接束はベクトル束（これはそれ自身ファイバー束の特別な種類である）と呼ばれるより一般的な構造の例である。明示的に書くと、テンプレート:Mvar 次元多様体テンプレート:Mvar への接束は、変換関数が伴う座標変換のヤコビアンによって与えられる、テンプレート:Mvar 上のランクテンプレート:Mvar のベクトル束として定義できる。

例

最も簡単な例はテンプレート:Math の例である。この場合接束は自明である。

別の簡単な例は単位円テンプレート:Math である（上の絵を見よ）。円の接束も自明でありテンプレート:Math に同型である。幾何学的には、これは高さ無限の円柱である。

容易に視覚化できる接束は実数直線テンプレート:Mathbf と単位円テンプレート:Math の接束だけであり、これらはどちらも自明である。2 次元多様体に対して接束は 4 次元でありしたがって視覚化するのは難しい。

非自明な接束の簡単な例は単位球面テンプレート:Math の接束である。この接束はテンプレート:仮リンクによって非自明である。したがって、球面は parallelizable でない。

ベクトル場

接ベクトルの多様体の各点への滑らかな割り当てはベクトル場 (vector field) と呼ばれる。具体的には、多様体テンプレート:Mvar 上のベクトル場は滑らかな写像

V : M \to T M

であって、テンプレート:Mvar と表記されるテンプレート:Mvar の像がテンプレート:Mvar における接空間テンプレート:Mvar にあるようなものである。ファイバー束の言葉でいえば、そのような写像は断面 (section) と呼ばれる。テンプレート:Mvar 上のベクトル場はしたがってテンプレート:Mvar の接束の断面である。

テンプレート:Mvar 上のすべてのベクトル場の集合はテンプレート:Math によって表記される。ベクトル場は点ごとに足し合わせることができ

(V + W)_{x} = V_{x} + W_{x}

テンプレート:Mvar 上の滑らかな関数を掛けることができ

(f V)_{x} = f (x) V_{x}

別のベクトル場を得る。するとすべてのベクトル場の集合テンプレート:Math はテンプレート:Mvar 上の滑らかな関数の可換環、テンプレート:Math と表記される、上の加群の構造をもつ。

テンプレート:Mvar 上の局所ベクトル場は接束の局所断面 (local section) である。つまり、局所ベクトル場はテンプレート:Mvar のある開集合テンプレート:Mvar 上でだけ定義され、テンプレート:Mvar の各点に伴う接束のベクトルを割り当てる。テンプレート:Mvar 上の局所ベクトル場全体の集合はテンプレート:Mvar 上の実ベクトル空間の層として知られている構造をなす。

高次の接束

接束テンプレート:Mvar はそれ自身滑らかな多様体であるから、テンプレート:仮リンクが接束の構成を繰り返し適用することで定義できる：

T^{2} M = T (T M) .

一般に、テンプレート:Mvar 次の接束テンプレート:Mvar が再帰的に $T (T^{k - 1} M)$ として定義できる。

滑らかな写像テンプレート:Math は誘導される微分をもち、接束はその適切な定義域と終域であるテンプレート:Math. 同様に、高次の接束は高次の微分 $D^{k} f : T^{k} M \to T^{k} N$ の定義域と終域を提供する。

異なるが関連した構成は多様体上のテンプレート:仮リンク (jet bundle) である。これはテンプレート:仮リンクからなるバンドルである。

接束上の自然なベクトル場

各接束テンプレート:Mvar 上、それを多様体と考えて、各点における接空間上の対角写像として自然なベクトル場 (canonical vector field) テンプレート:Math を定義できる。これは可能であるのはベクトル空間テンプレート:Mvar の接空間は自然に積 $T W ≅ W \times W$ であることによる。ベクトル空間自身は平坦でありしたがってこの積の構造のもとで $w \mapsto (w, w)$ によって与えられる自然な対角写像 $W \to T W$ をもつ。この積の構造を各点で接空間に適用し大域化することで自然なベクトル場が生じる。インフォーマルには、多様体テンプレート:Mvar が曲がっていたとしても、点テンプレート:Mvar における各接空間 $T_{m} M \approx 𝐑^{n}$ は平坦であるので、接束多様体テンプレート:Mvar は局所的に曲がったテンプレート:Mvar と平坦な $𝐑^{n}$ の積である。したがって接束の接束は局所的に（ $\approx$ を"座標の選択"に、 $≅$ を"自然な同一視"に使って）：

T (T M) \approx T (M \times 𝐑^{n}) ≅ T M \times T (𝐑^{n}) ≅ T M \times (𝐑^{n} \times 𝐑^{n})

そして写像 $T T M \to T M$ は第一座標の上への射影である：

(T M \to M) \times (𝐑^{n} \times 𝐑^{n} \to 𝐑^{n}) .

最初の写像を零切断を通じて、および二番目の写像を対角写像によって分解することで自然なベクトル場が生まれる。

テンプレート:Math がテンプレート:Mvar の局所座標であれば、ベクトル場は表現

V = \sum_{i} {v^{i} \frac{\partial}{\partial v^{i}} |}_{(x, v)}

をもつ。より具体的に書けば、 $(x, v) \mapsto (x, v, 0, v)$ —前二つの座標が変わらないのは、ベクトル場が接束の切断であり、この二つの座標が表す点が底空間の点であることによる：後ろ二つの座標は切断そのものである。ベクトル場のこの表現はテンプレート:Mvar のみによりテンプレート:Mvar によらないことに注意しよう。接線の向きだけが自然に同一視できるからである。

別な定義の仕方として、スカラー乗法を与える写像を考える：

{\begin{matrix} 𝐑 \times T M \to T M \\ (t, v) ⟼ t v \end{matrix}

テンプレート:Mathbf 成分の変数関する時刻テンプレート:Math におけるこの関数の微分は関数テンプレート:Math であり、これは自然なベクトル場の別の記述である。

テンプレート:Mvar 上のそのようなベクトル場の存在は余接束上のテンプレート:仮リンクに類似である。ときどきテンプレート:Mvar はまたリュービルベクトル場 (Liouville vector field) あるいは 動径ベクトル場 (radial vector field) と呼ばれる。テンプレート:Mvar を使って接束を特徴づけることができる。本質的に、テンプレート:Mvar は 4 つの公理で特徴づけることができ、多様体がこれらの公理を満たすベクトル場をもてば、多様体は接束でありベクトル場はその上の自然なベクトル場である。例えば De León et al. を見よ。

持ち上げ

テンプレート:Mvar の対象をテンプレート:Mvar の対象にテンプレート:仮リンク様々な方法がある。例えば、テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar の曲線であれば、テンプレート:Mvar （テンプレート:Mvar の接線）はテンプレート:Mvar の曲線である。対照的に、テンプレート:Mvar についてさらに仮定をしないと（例えばリーマン計量）、余接束への同様のリフトは存在しない。

関数テンプレート:Math の垂直リフト (vertical lift) は $f^{v} = f \circ π$ によって定義される関数テンプレート:Math である、ただしテンプレート:Math は自然な射影である。

注釈

テンプレート:Notelist

参考文献

テンプレート:Reflist

テンプレート:Citation . ISBN 978-0-8218-4815-9
John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95495-3.
Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-42627-2
Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London. ISBN 0-8053-0102-X
M. De León, E. Merino, J.A. Oubiña, M. Salgado, A characterization of tangent and stable tangent bundles, Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, Vol. 61, no. 1, 1994, 1-15 [1]

外部リンク

接束

目次

役割

位相と滑らかな構造

例

ベクトル場

高次の接束

接束上の自然なベクトル場

持ち上げ

関連項目

注釈

参考文献

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