余接束

数学、特に微分幾何学において、滑らかな多様体の余接束（よせつそく、テンプレート:Lang-en）は、多様体のすべての点におけるすべての余接空間からなるベクトル束である。それはまた接束の双対束として記述することもできる。

余接層

余接束の滑らかな断面は微分 1-形式である。

余接層の定義

テンプレート:Mvar を滑らかな多様体とし テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の自身とのカルテジアン積とする。対角写像 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Mvar を テンプレート:Math の点 テンプレート:Math に送る。テンプレート:Mvar の像は対角線 (diagonal) と呼ばれる。$ℐ$ を対角線上消える テンプレート:Math 上の滑らかな関数の芽の層とする。このとき商層 $ℐ/{ℐ}^2$ はより高次の項を法として対角線上消える関数の同値類からなる。余接層はこの層の テンプレート:Mvar へのテンプレート:仮リンクである。

$\mathrm{\Gamma }{T}^{*}M={\mathrm{\Delta }}^{*}(ℐ/{ℐ}^2).$

テイラーの定理によって、これは テンプレート:Mvar の滑らかな関数の芽の層に関して加群の局所自由層である。したがってそれは テンプレート:Mvar 上のベクトル束、余接束 (cotangent bundle) を定義する。

多様体における反変性

多様体の滑らかな射 $\varphi :M\to N$ は テンプレート:Mvar 上のテンプレート:仮リンク ${\varphi }^{*}{T}^{*}N$ を誘導する。ベクトル束のテンプレート:仮リンク ${\varphi }^{*}(T^{*}N)\to T^{*}M$ が存在する。

相空間としての余接束

余接束 X=T^*テンプレート:Mvar はベクトル束であるから、それはそれ自身多様体と見ることができる。テンプレート:Math の定義が底空間 テンプレート:Mvar の微分トポロジー (テンプレート:Lang) に関係づける方法のために、 テンプレート:Mvar は自然な 1-形式 テンプレート:Mvar （canonical one-form あるいは tautological one-form あるいは symplectic potential）を有する。テンプレート:Mvar の外微分は斜行 2-形式 (symplectic 2-form) であり、そこから非退化体積形式 (テンプレート:Lang) が テンプレート:Mvar に対して構成できる。例えば、結果として テンプレート:Mvar は常に向き付け可能な多様体である（つまり テンプレート:Mvar の接束は向き付け可能なベクトル束である）。座標の特別な集合を余接束上定義できる。これらは自然座標 (canonical coordinates) と呼ばれる。余接束はシンプレクティック多様体 (テンプレート:Lang) と考えることができるから、余接束上の任意の実関数はハミルトニアンであると解釈することができる。したがって余接束はハミルトン力学が演じる相空間であると理解できる。

自然 1-形式

余接束は自然 1-形式 (tautological one-form) テンプレート:Mvar（Poincaré 1-形式あるいは Liouville 1-形式とも呼ばれる）をもっている。（この形式は、混乱を招くこともあるが、canonical one-form とも呼ばれる。）これが意味するのは、テンプレート:Math をそれ自身多様体と見たときに、テンプレート:Math 上のベクトル束 テンプレート:Math) の断面が存在するということである。

この断面はいくつかの方法で構成することができる。最も初等的な手法は局所座標 (local coordinates) を使うことである。テンプレート:Math を基礎多様体 (base manifold) テンプレート:Mvar 上の局所座標系とする。これらの基礎座標系の言葉で言うと、ファイバー座標系 テンプレート:Math が存在する： テンプレート:Math の特定の点における 1-形式は（アインシュタインの縮約記法を使って）テンプレート:Math の形をしている。なので多様体 テンプレート:Math はそれ自身局所座標 テンプレート:Math をもっている、ただし テンプレート:Mvar は基礎上の座標で テンプレート:Mvar はファイバーにおける座標である。自然 1-形式はこれらの座標系において

${\theta }_{(x,p)}=\sum _{𝔦=1}^n{p}_{i}d{x}^i.$

によって与えられる。本質的には、テンプレート:Math の各固定された点での自然 1-形式の値はテンプレート:仮リンクとして与えられる。具体的には、テンプレート:Math を束の射影 (projection) としよう。テンプレート:Math の点を取ることは テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar における 1-形式 テンプレート:Mvar を選ぶことと同じであり、自然 1-形式 テンプレート:Mvar は点 テンプレート:Math に値

${\theta }_{(x,\omega )}={\pi }^{*}\omega .$

を割り当てる。つまり、余接束の接束におけるベクトル テンプレート:Mvar に対して、自然 1-形式 テンプレート:Mvar の テンプレート:Math における テンプレート:Mvar への適用は テンプレート:Mvar を テンプレート:Math を使って テンプレート:Mvar における接束に射影し テンプレート:Mvar をこの射影に適用することで計算される。自然 1-形式は基礎 テンプレート:Mvar 上の 1-形式の引き戻しではないことに注意する。

斜交形式

余接束は、テンプレート:仮リンク、symplectic potential、の外微分として、それ上の自然な斜交 2-形式 (symplectic 2-form) をもつ。この形式が実際に斜交であることの証明は、斜交であることは局所的な性質であることを注意することによってできる。余接束は局所的に自明であるから、この定義は ${ℝ}^n\times {ℝ}^n$ 上でチェックされるだけでよい。しかしそこで定義される 1-形式は $y_{i}d{x}_i$ の和であり、微分は自然な斜交形式、$d{y}_i\wedge d{x}_i$ の和である。

相空間

多様体 テンプレート:Mvar が力学系における可能な位置の集合を表していれば、余接束 テンプレート:Math を可能な位置と運動量の集合と考えることができる。例えば、これは振り子の相空間を記述する方法である。振り子の状態は、その位置（角度）と、その運動量（あるいは同じことだが、その速度、なぜならばその質量は変わらないから）によって決定される。全状態空間はシリンダーのように見える。シリンダーは円の余接束である。上のシンプレクティックな構成は、適切なエネルギー関数と一緒に、系の物理の完全な決定を与える。より多くの情報はハミルトン力学を、動きのハミルトニアン方程式の明示的な構成は en:geodesic flow の記事を参照。

関連項目

• ルジャンドル変換

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
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