芽 (数学)

数学において、位相空間の中あるいは上の対象の芽（め、が、テンプレート:Lang-en-short）とは、その対象に同種の対象を加えて作られた同値類のうち、局所的な性質が共通するように集めてきたものを呼ぶ概念である。特に、問題の対象として関数（あるいは写像）や部分集合を考えることが多い。このアイデアの特定の実行において、問題の集合あるいは写像は解析的あるいは滑らかのようないくつかの性質をもつが、一般にはこれは必要とされない（問題の写像や関数は連続である必要さえない）。しかしながら、対象の定義されている空間は、局所的という言葉がなんらかの意味をもつために位相空間である必要がある。

名前は層 (テンプレート:Lang「穂束」) のメタファーの続きで cereal germ（胚芽） に由来している。穀物にとってそうであるように芽は（局所的に）関数の「心臓 (heart)」であるからだ。

正式な定義

基本的な定義

位相空間 テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Mvar と、2つの写像 テンプレート:Math （ここで テンプレート:Mvar は任意の集合）が与えられると、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は、テンプレート:Mvar のある近傍 テンプレート:Mvar が存在して テンプレート:Mvar に制限したときに テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が等しいとき、つまりすべての テンプレート:Math に対して テンプレート:Math であるときに、テンプレート:Mvar で同じ芽 (germ) を持つという。同様に、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の任意の2つの部分集合とすると、テンプレート:Mvar のある近傍 テンプレート:Mvar が存在して テンプレート:Math であるときに、それらは テンプレート:Mvar で同じ芽を持つという。

テンプレート:Mvar で同じ芽を持つことが（写像や集合の上で）同値関係であることを確かめることは容易である。その同値類を芽（それぞれ写像の芽あるいは集合の芽）と呼ぶ。同値関係は通常

$f{\sim }_{x}g$ あるいは $S{\sim }_{x}T$

と書かれる。テンプレート:Mvar 上の写像 テンプレート:Mvar が与えられると、その テンプレート:Mvar での芽は通常 テンプレート:Math と表記される。同様に、集合 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar における芽は テンプレート:Math と書かれる。したがって、

$[f{]}_x=\{g:X\to Y\mid g{\sim }_{x}f\}$

である。

テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Mvar に写す写像の テンプレート:Mvar における芽は

$f:(X,x)\to (Y,y)$

と表記される。この表記を用いるとき、テンプレート:Mvar は任意の代表写像と同じ文字 テンプレート:Mvar を使って写像の同値類全体として意図されている。

2つの集合が テンプレート:Mvar おいて芽同値であることと、それらの特性関数が テンプレート:Mvar において芽同値であることは同値である

$S{\sim }_{x}T⟺{\mathrm{𝟏}}_S{\sim }_x{\mathrm{𝟏}}_T$

ことに注意する。

より一般に

写像は テンプレート:Mvar 全体で定義されている必要はなく、特に同じ定義域を持つ必要もない。しかしながら、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の部分集合として テンプレート:Mvar が定義域 テンプレート:Mvar をもち テンプレート:Mvar が定義域 テンプレート:Mvar を持てば、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は次のとき テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Mvar において同値な芽である。まず テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar において同値な芽である。テンプレート:Math としよう。そしてさらに、テンプレート:Math が テンプレート:Math なるよりより小さいある近傍 テンプレート:Mvar に対して成り立つ。これは特に2つの設定において意味がある：

1. テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の部分多様体 テンプレート:Mvar 上定義され、
2. テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar においてある種の極をもち、したがって テンプレート:Mvar において定義さえされていない。例えば有理関数では極が定義域から外される。

基本的な性質

テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar において同値な芽であれば、それらは連続性や微分可能性といったすべての局所的な性質を共有し、したがって可微分あるいは解析的芽などについて話すことは意味をなす： 部分集合に対しても同様である。芽の1つの代表が解析的集合であれば、すべての代表は少なくとも テンプレート:Mvar のある近傍上で解析的である。

さらに、終域 テンプレート:Mvar がベクトル空間であれば、芽を足すことが意味をなす： テンプレート:Math を定義するために、まず近傍 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar 上でそれぞれ定義された代表元 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を取ると、テンプレート:Math は写像 テンプレート:Math（ここで テンプレート:Math は テンプレート:Math 上定義されている）の テンプレート:Mvar における芽である。（同様にしてより一般の線型結合を定義できる。）

テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像の テンプレート:Mvar における芽全体の集合は離散位相を除いて有用な位相を持たない。それゆえ芽の収束列について話すことはほとんどあるいは全く意味がない。しかしながら、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が多様体であれば、テンプレート:仮リンクの空間 テンプレート:Math （写像（-芽）の テンプレート:Mvar における有限項のテイラー級数）は、有限次元ベクトル空間と同一視できるので、確かに位相をもつ。

層との関係

芽のアイデアは層と前層の背後にある。位相空間 テンプレート:Mvar 上のアーベル群の前層 $ℱ$ はアーベル群 $ℱ(U)$ を テンプレート:Mvar の各開集合 テンプレート:Mvar に割り当てる。アーベル群の典型的な例は： テンプレート:Mvar 上の実数値関数、テンプレート:Mvar 上の微分形式、テンプレート:Mvar 上のベクトル場、テンプレート:Mvar 上の正則函数（テンプレート:Mvar が複素平面のとき）、テンプレート:Mvar 上の定数関数、テンプレート:Mvar 上の微分作用素。

テンプレート:Math であれば、ある種の協調性条件を満たす制限写像 ${\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}}_{VU}:ℱ(U)\to ℱ(V)$ が存在する。固定された テンプレート:Mvar に対して、元 $f\in ℱ(U)$ と $g\in ℱ(V)$ が テンプレート:Mvar において同値であるとは、テンプレート:Mvar の近傍 テンプレート:Math が存在して テンプレート:Math （どちらも $ℱ(W)$ の元）ということである。同値類は前層 $ℱ$ の テンプレート:Mvar におけるテンプレート:仮リンク ${ℱ}_x$ をなす。この同値関係は上で記述された芽同値の抽象化である。

例

テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が付加的な構造を持っていれば、テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar へのすべての写像の集合の部分集合を、あるいはより一般に与えられた前層 $ℱ$ の部分前層と対応する芽を定義することができる： いくつかの顕著な例が続く：

• テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar がともに位相空間であれば、連続関数たちの部分集合

$C^0(X,Y)\subset \mathrm{Hom}(X,Y)$

は連続関数芽 (germs of continuous functions) を定義する。

• テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が両方テンプレート:仮リンクをもてば、テンプレート:Mvar 回連続微分可能な関数全体の部分集合

$C^k(X,Y)\subset \mathrm{Hom}(X,Y)$

滑らかな関数全体の部分集合

$C^{\mathrm{\infty }}(X,Y)=\bigcap _k{C}^k(X,Y)\subset \mathrm{Hom}(X,Y)$

解析関数全体の部分集合

$C^{\omega }(X,Y)\subset \text{Hom}(X,Y)$

（ここで テンプレート:Mvar は無限を表す基数である。これは テンプレート:Mvar や テンプレート:Math とのアナロジーによる記法の濫用である）を定義することができ、すると（有限回）微分可能な ((finitely) differentiable)、滑らかな (smooth)、解析関数芽 (germs of analytic functions) の空間を構成することができる。

• テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar が複素構造をもてば（たとえば複素ベクトル空間の部分集合であれば）、それらの間の正則関数を定義することができ、したがって正則関数芽 (germs of holomorphic functions) の空間が構成できる。

• テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar がある代数的構造をもてば、それらの間の正則（および有理）関数を定義することができ、正則関数芽 (germs of regular functions)（および同様に有理 (rational) 関数芽）を定義することができる。

表記

位相空間 テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Mvar における テンプレート:Mvar 上の層 $ℱ$ のテンプレート:仮リンクは一般に ${ℱ}_x$ と表記される。したがって芽は、様々な種類の関数の茎であるので、この型の表記ができる：

• ${𝒞}_x^0$ は テンプレート:Mvar における連続関数芽の空間 (space of germs of continuous functions) である。
• ${𝒞}_x^k$ は各自然数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mvar において テンプレート:Mvar 回微分可能な関数芽の空間 (space of germs of テンプレート:Mvar-times-differentiable functions) である。
• ${𝒞}_x^{\mathrm{\infty }}$ は テンプレート:Mvar において無限回微分可能な（「滑らかな」）関数芽の空間 (space of germs of infinitely differentiable ("smooth") functions) である。
• ${𝒞}_x^{\omega }$ は テンプレート:Mvar において解析関数芽の空間 (space of germs of analytic functions) である。
• ${𝒪}_x$ は テンプレート:Mvar において（複素幾何において）正則関数芽の空間 (space of germs of holomorphic functions) あるいは（代数幾何学において）正則関数芽の空間 (space of germs of regular functions) である。

集合と多様体の芽に対して、表記はそれほどよく確立されていない：文献で見つかる表記には例えば次のものがある：

• ${𝔙}_x$ は テンプレート:Mvar において解析的な多様体の芽の空間 (space of germs of analytic varieties) である。

点 テンプレート:Mvar が固定されていて知られているとき（例えば テンプレート:Mvar が位相ベクトル空間で テンプレート:Math のとき）、それは上の記号のそれぞれにおいて落とすことができる：また、テンプレート:Math のとき、記号の前のサブスクリプトを付け足すことができる。例として

• ${}_n{𝒞}^0,{}_n{𝒞}^k,{}_n{𝒞}^{\mathrm{\infty }},{}_n{𝒞}^{\omega },{}_n𝒪,{}_n𝔙$ は テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 次元ベクトル空間で テンプレート:Math のときの上で示された芽の空間である。

応用

応用におけるキーワードは局所性 (locality) である： 点における関数のすべてのテンプレート:仮リンクはその芽を解析することで研究できる。それらはテイラー級数の一般化であり、実際（微分可能な関数の）芽のテイラー級数が定義される：導関数を計算するのに局所的な情報しか必要ない。

芽は相空間の選ばれた点の近くのテンプレート:仮リンクの性質を決定する際に有用である： それらはテンプレート:仮リンクとカタストロフィー理論において主要なツールの1つである。

考えられている位相空間がリーマン面あるいはより一般にテンプレート:仮リンクのとき、それらの上の正則関数の芽を冪級数と見ることができ、したがって芽の集合を解析関数の解析接続と考えることができる。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• カタストロフィー理論
• テンプレート:仮リンク
• リーマン面
• 層
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Cite book, chapter I, paragraph 6, subparagraph 10 "Germs at a point".
• テンプレート:Cite book, chapter 2, paragraph 2.1, "Basic Definitions".
• テンプレート:Cite book, chapter 2 "Local Rings of Holomorphic Functions", especially paragraph A "The Elementary Properties of the Local Rings" and paragraph E "Germs of Varieties".
• Ian R. Porteous (2001) Geometric Differentiation, page 71, Cambridge University Press ISBN 0-521-00264-8 .
• テンプレート:Cite book, paragraph 31, "Germi di funzioni differenziabili in un punto テンプレート:Mvar di テンプレート:Mvar (Germs of differentiable functions at a point テンプレート:Mvar of テンプレート:Mvar)" (in Italian).

外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:PlanetMath
• Dorota Mozyrska, Zbigniew Bartosiewicz"Systems of germs and theorems of zeros in infinite-dimensional spaces", arxiv.org e-Prints server (Primary site at Cornell University). A research preprint dealing with germs of analytic varieties in an infinite dimensional setting.