超球面

直交射影としての 2 次元球面ワイヤフレーム

立体射影が球面の表面を平面に射影できるのと全く同じように、3 次元球面の表面も 3 次元空間に射影できる。このイメージは 3 次元空間に射影された 3 つの座標方向を示している： parallels（赤）、meridians（青）、hypermeridians（緑）。ステレオグラフ射影の等角性によって、曲線は 4 次元においてそうであるように互いに直交に（黄色の点で）交わる。曲線のすべては円である： <0,0,0,1> と交わる曲線は無限大の半径を持つ（＝直線）。

数学において、テンプレート:Mvar 次元球面（テンプレート:Mvar-じげんきゅうめん、テンプレート:Lang-en-short, n 球面）は普通の球面の n 次元空間への一般化である。任意の自然数 n に対して、半径 r の n 次元球面は中心点から距離 r にある (n + 1) 次元ユークリッド空間における点の集合として定義される。ここで半径 r は任意の正の実数でよい。したがって、原点を中心とする n 次元球面は

$S^n=\{x\in {ℝ}^{n+1}:\Vert x\Vert =r\}$

によって定義される。これは (n + 1) 次元ユークリッド空間内に存在する n 次元多様体である。

特に：

• 零次元球面は二点、すなわち直線内の（一次元の対象である）線分の零次元の対象である端点の対、
• 一次元球面は円、すなわち平面内の（二次元の対象である）円板の一次元の対象である円周、
• 二次元球面は三次元空間における（三次元の対象である）球体の二次元の対象である表面

である。

次元 n > 2 の球面は超球面 (hypersphere)テンプレート:Efn と呼ばれることがあり、3 次元球面は glome と呼ばれることがある。原点に中心のある半径 1 の n 次元球面は テンプレート:Mvar-次元単位球面または単位 n 次元球面 (unit n-sphere) と呼ばれ、Sⁿ と表記される。単位 n 次元球面はしばしば the n-sphere と呼ばれる。

n 次元球面は (n + 1) 次元球体の表面あるいは境界であり、n 次元多様体である。n ≥ 2 に対して、n 次元球面は正のテンプレート:仮リンクの単連結 n 次元多様体である。n 次元球面にはいくつかの他の位相的記述がある。例えば、2 つの n 次元ユークリッド空間を貼り合わせることによって、テンプレート:Mvar-次元超立方体の境界を一点と同一視することによって、あるいは (n − 1) 次元球面の懸垂を（帰納的に）作ることによって構成できる。

解説

任意の（0を含む）自然数 n に対して、半径 r の n 次元球面は (n + 1) 次元ユークリッド空間のある固定された点 c から距離 r にある点全体の集合として定義される。ここで r は任意の正の実数でよく、c は (n + 1) 次元空間の任意の点でよい。特に：

• 零次元球面は点のペア {c − r, c + r} であり、線分（一次元球体）の境界である。
• 一次元球面は中心が c にある半径 r の円であり、円板（二次元球体）の境界である。
• 二次元球面は三次元ユークリッド空間内の通常の二次元球面であり、通常の球体（三次元球体）の境界である。
• 三次元球面は四次元ユークリッド空間内の球面である。

(n + 1) 次元空間におけるユークリッド座標

テンプレート:Mvar-次元球面 テンプレート:Mvar を定義する テンプレート:Math-次元空間内の点 テンプレート:Math 全体の成す集合は、方程式

$r^2=\sum _{i=1}^{n+1}(x_i-c_i{)}^2$

によって表される、ただし テンプレート:Math は中心であり テンプレート:Mvar は半径である。

上の n 次元球面は (n + 1) 次元ユークリッド空間に存在し、n 次元多様体の例である。半径 r の n 次元球面の体積形式 ω は

$\omega =\frac{1}{r}\sum _{j=1}^{n+1}(-1{)}^{j-1}{x}_{j}d{x}_1\wedge \cdots \wedge d{x}_{j-1}\wedge d{x}_{j+1}\wedge \cdots \wedge d{x}_{n+1}=*dr$

によって与えられる、ただし テンプレート:Math はホッジスター作用素である； テンプレート:Math の場合のこの公式の証明と議論は テンプレート:Harvtxt を見よ。結果として、$dr\wedge \omega =d{x}_1\wedge \cdots \wedge d{x}_{n+1}.$

n 次元球体

n 次元球面によって囲まれる有界領域は (n + 1) 次元球体 (テンプレート:Mvar-ball) と呼ばれる。(n + 1) 次元球は n 次元球面を含めば閉集合であり、含まなければ開集合である。

具体例：

• 一次元球体は通常は線分と呼ばれる。零次元球面を成す二点を結ぶ線分という意味で零次元球面の内部と理解することができる。
• 二次元球体は通常は円板と呼ばれ、円周（一次元球面）の囲む領域になっている。
• 三次元球体は単に球体と言えば普通はこれのことで、通常の球面（二次元球面）の内部である。
• 四次元球体は三次元球面の内部である、etc.

位相的記述

位相幾何学的には、n 次元球面は n 次元ユークリッド空間の1点コンパクト化として構成できる。手短に言えば、n 次元球面は ${𝕊}^n={ℝ}^n\cup \{\mathrm{\infty }\}$ として記述でき、これは n 次元ユークリッド空間プラス全ての方向における無限大を表す一点である。特に、一点が n 次元球面から除かれると、${ℝ}^n$ に同相になる。これは立体射影の原理である。

体積と表面積

定義 テンプレート:Math: 半径 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-次元球体の テンプレート:Mvar-次元体積 テンプレート:Math: 半径 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-次元球面の テンプレート:Mvar-次元体積 テンプレート:Math テンプレート:Math 漸化式 $V_0=1,V_{n+1}=S_n/(n+1)$ $S_0=2,S_{n+1}=2\pi V_n$ 閉じた式 $S_{n-1}(R)=\frac{n{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}{R}^{n-1}$ $V_n(R)=\frac{{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}{R}^n$ ただし テンプレート:Math はガンマ関数である。

低次元の場合の例 次元 値 図形 説明 零次元 $V_0=1$ 単位球体: 原点 零次元テンプレート:仮リンクは集合内の点の数 $S_0=2$ 単位球面: 二点 テンプレート:Math 一次元 $V_1=2$ 単位球体: 閉区間 テンプレート:Math テンプレート:Math の長さ（一次元測度） $S_1=2\pi$ 単位球面: 単位円 単位円の円周の長さ 二次元 $V_2=\pi$ 単位球面: 単位円板 単位円板の面積（二次元測度） $S_2=4\pi$ 単位球面 三次元空間内の二次元単位球面の表面積 三次元 $V_3=\frac{4\pi }{3}$ 単位球体 二次元球面の囲む体積（三次元測度） ……

一般に、テンプレート:Mvar-次元ユークリッド空間内の テンプレート:Mvar-次元球体および テンプレート:Math-次元ユークリッド空間内の テンプレート:Mvar-次元球面の テンプレート:Mvar-次元体積は、いずれも半径 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-乗に比例する。そこで、半径 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-次元球の体積を テンプレート:Math, テンプレート:Mvar-次元球面の体積を テンプレート:Math と書いて、これら比例定数の成す数列 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar の性質を記述する。

漸化式

半径 テンプレート:Mvar の テンプレート:Math-次元球体の境界となる テンプレート:Mvar-次元球面の「表面積」（正確には テンプレート:Mvar-次元体積）は同球体の テンプレート:Math-次元体積との間に、微分方程式

$S_n{R}^n=\frac{d{V}_{n+1}{R}^{n+1}}{dR}=(n+1)V_{n+1}{R}^n$

によって表される関係を持つ。あるいは同じことだが、単位 テンプレート:Math-次元球体を無数の同心 テンプレート:Mvar-次元「球殻」の合併として表すことにより

$V_{n+1}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{S}_n{r}^{n}dr=\frac{S_n}{n+1}$

を得る。

テンプレート:Math-次元単位球面を、各部分が何れも円（一次元球面）と テンプレート:Mvar-次元球面との直積として得られる テンプレート:Math-次元のトーラスとなっているような和集合として表すこともできる。テンプレート:Math かつ テンプレート:Math, 従って テンプレート:Math かつ テンプレート:Math と置くと、

$\begin{array}{cc}{S}_{n+2}& =\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}(S_{1}r)(S_n{R}^n)d\theta =\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{S}_1{S}_n{R}^n\cos \theta d\theta \\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}{S}_1{S}_n{R}^{n}dR=S_1\underset{0}{\overset{1}{\int }}{S}_n{R}^{n}dR\\ & =2\pi V_{n+1}\end{array}$

を得る。ここで テンプレート:Math だから、任意の テンプレート:Math に対し等式 テンプレート:Math が成り立つ。

以上の漸化式をまとめると

$V_0=1,V_{n+1}=S_n/(n+1),$

$S_0=2,S_{n+1}=2\pi V_n$

ということになる。

閉じた形

上記の二つの漸化式から テンプレート:Math であり、テンプレート:Mvar に関して帰納的に

$V_{2k}=\frac{{\pi }^k}{k!},V_{2k+1}=\frac{2(2\pi {)}^k}{(2k+1)!!}=\frac{2k!(4\pi {)}^k}{(2k+1)!}$

を示すことは容易である。ただし テンプレート:Math は二重階乗を表す。これは奇数 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math と定義されている。

一般に、テンプレート:Mvar-次元単位球体の（テンプレート:Mvar-次元ユークリッド空間内での）体積は

$V_n=\frac{{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}$

によって与えられる、ただし テンプレート:Math はガンマ関数であり、テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math を満たす。

テンプレート:Mvar に テンプレート:Mvar を掛け、テンプレート:Mvar について微分して テンプレート:Math とおくと、閉じた形

$S_{n-1}=\frac{2{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}$

を得る。

他の関係

（n はユークリッド空間の次元であり、体積がここにリストされている球体の内在的次元でもあるが、表面積がここにリストされている球面の内在的次元よりも 1 大きいことに注意。）曲がった赤の矢印は異なる n に対する公式の間の関係を示す。各矢印の指す先の式はその矢印の始点の式に矢印の頭の因子を掛けたものに等しい。もし下の矢印の向きを逆にすれば、それらの矢印の頭は 2テンプレート:Π/(n − 2) を掛けることを示すことになる。別の言い方をすれば、n + 2 次元空間内の球面の表面積 S_{n + 1} はちょうど、2テンプレート:ΠR を、n 次元空間内の球面によって囲まれる体積 V_n に掛けたものである。

漸化式は結合して図にかかれているように表面積に対して「逆向きの」漸化関係を与えることができる：

$S_{n-1}=\frac{n}{2\pi }{S}_{n-1+2}$

すると添え字を n から n − 2 にシフトすることで漸化式

$V_n=\frac{2\pi }{n}{V}_{n-2}$

$S_{n-1}=\frac{2\pi }{n-2}{S}_{n-1-2}$

を得る、ただし S₀ = 2, V₁ = 2, S₁ = 2テンプレート:Pi, V₂ = テンプレート:Pi.

$V_n$ に対する漸化関係も 2 次元極座標での積分を経由して証明できる：

$\begin{array}{cc}{V}_n& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{V}_{n-2}(\sqrt{1-r^2}{)}^{n-2}rd\theta dr\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}{V}_{n-2}(1-r^2{)}^{n/2-1}rd\theta dr\\ & =2\pi V_{n-2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-r^2{)}^{n/2-1}rdr\\ & =2\pi V_{n-2}{[-\frac{1}{n}(1-r^2{)}^{n/2}]}_{r=0}^{r=1}\\ & =2\pi V_{n-2}\frac{1}{n}=\frac{2\pi }{n}{V}_{n-2}.\end{array}$

球座標系

3 次元ユークリッド空間に対して定義される球面座標系に類する座標系を n 次元ユークリッド空間において定義できる。座標は動径座標 テンプレート:Mvar と n − 1 個の偏角座標 ${\varphi }_1,{\varphi }_2,\dots ,{\varphi }_{n-1}$ からなる、ただし ${\varphi }_{n-1}$ は $[0,2\pi )$ ラジアン（あるいは [0, 360) 度）の範囲を動き、他の角度は $[0,\pi ]$ ラジアン（あるいは [0, 180] 度）の範囲を動く。$x_i$ が直交座標であれば、$x_1,\dots ,x_n$ を $r,{\varphi }_1,\dots ,{\varphi }_{n-1}$ から次によって計算できる：

$\begin{array}{cc}{x}_1& =r\cos ({\varphi }_1)\\ x_2& =r\sin ({\varphi }_1)\cos ({\varphi }_2)\\ x_3& =r\sin ({\varphi }_1)\sin ({\varphi }_2)\cos ({\varphi }_3)\\ & ⋮\\ x_{n-1}& =r\sin ({\varphi }_1)\cdots \sin ({\varphi }_{n-2})\cos ({\varphi }_{n-1})\\ x_n& =r\sin ({\varphi }_1)\cdots \sin ({\varphi }_{n-2})\sin ({\varphi }_{n-1}).\end{array}$

下で述べる特別な場合を除いて逆変換は一意である：

$\begin{array}{cc}r& =\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots +{x_2}^2+{x_1}^2}\\ {\varphi }_1& =\mathrm{arccot}\frac{x_1}{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots +{x_2}^2}}=\arccos \frac{x_1}{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots +{x_1}^2}}\\ {\varphi }_2& =\mathrm{arccot}\frac{x_2}{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots +{x_3}^2}}=\arccos \frac{x_2}{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+\cdots +{x_2}^2}}\\ & ⋮\\ {\varphi }_{n-2}& =\mathrm{arccot}\frac{x_{n-2}}{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2}}=\arccos \frac{x_{n-2}}{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2+{x_{n-2}}^2}}\\ {\varphi }_{n-1}& =2\mathrm{arccot}\frac{x_{n-1}+\sqrt{x_n^2+x_{n-1}^2}}{x_n}=\{\begin{array}{cc}\arccos \frac{x_{n-1}}{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2}}& x_n\ge 0\\ 2\pi -\arccos \frac{x_{n-1}}{\sqrt{{x_n}^2+{x_{n-1}}^2}}& x_n<0\end{array}.\end{array}$

ただし、ある k に対して $x_k\ne 0$ であるが $x_{k+1},\dots ,x_n$ がすべて 0 であれば、$x_k>0$ のとき ${\varphi }_k=0$ であり、$x_k<0$ のとき ${\varphi }_k=\pi$ ラジアン（180度）である。

逆変換が一意でない特別な場合がある； $x_k,x_{k+1},\dots ,x_n$ がすべて 0 であるときにはいつでも、任意の k に対して ${\varphi }_k$ は ambiguous になる； この場合 ${\varphi }_k$ は 0 と選ぶことができる。

球面体積要素

ラジアンで角度を表すとき、n 次元ユークリッド空間における体積要素は変換

$\begin{array}{cc}{d}^{n}V& =|\det \frac{\partial (x_i)}{\partial (r,{\varphi }_j)}|drd{\varphi }_{1}d{\varphi }_2\cdots d{\varphi }_{n-1}\\ & =r^{n-1}{\sin }^{n-2}({\varphi }_1){\sin }^{n-3}({\varphi }_2)\cdots \sin ({\varphi }_{n-2})drd{\varphi }_{1}d{\varphi }_2\cdots d{\varphi }_{n-1}\end{array}$

のヤコビアンから見つかるだろう、そして n 次元球の体積の上記の等式は

$V_n=\underset{{\varphi }_{n-1}=0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{{\varphi }_{n-2}=0}{\overset{\pi }{\int }}\cdots \underset{{\varphi }_1=0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{r=0}{\overset{R}{\int }}{d}^{n}V$

を積分することによって再び得ることができる。(n − 1) 次元球面の体積要素は、2 次元球面の面積要素を一般化するが、

$d_{S^{n-1}}V={\sin }^{n-2}({\varphi }_1){\sin }^{n-3}({\varphi }_2)\cdots \sin ({\varphi }_{n-2})d{\varphi }_{1}d{\varphi }_2\cdots d{\varphi }_{n-1}$

によって与えられる。角度座標上の直交基底の自然な選択は j = 1, 2, ..., n − 2 に対してゲーゲンバウアー多項式

$\begin{array}{cc}& \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{\sin }^{n-j-1}({\varphi }_j)C_s^{((n-j-1)/2)}(\cos {\varphi }_j)C_{s^{\prime }}^{((n-j-1)/2)}(\cos {\varphi }_j)d{\varphi }_j\\ & =\frac{\pi 2^{3-n+j}\mathrm{\Gamma }(s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1){\mathrm{\Gamma }}^2((n-j-1)/2)}{\delta }_{s,s^{\prime }}\end{array}$

の積であり、角度 j = n − 1 に対して球面調和関数と一致して e ^isφ_j である。

立体射影

3次元に埋め込まれた 2 次元球面が 2 次元平面の上へと立体射影によって写像できるのと全く同じように、n 次元球面は n 次元超曲面の上へと立体射影の n 次元バージョンによって写像することができる。例えば、半径 1 の 2 次元球面上の点 $[x,y,z]$ は xy 平面上の点 $[\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}]$ に写る。言い換えると、

$[x,y,z]\mapsto [\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}].$

同様に、半径 1 の n 次元球面 ${𝐒}^{n-1}$ のステレオグラフ射影は $x_n$ 軸に垂直な $n-1$ 次元超平面 ${𝐑}^{n-1}$ に次のように写る

$[x_1,x_2,\dots ,x_n]\mapsto [\frac{x_1}{1-x_n},\frac{x_2}{1-x_n},\dots ,\frac{x_{n-1}}{1-x_n}].$

ランダムな点を生成する

(n − 1) 次元球面から一様に無作為に

一様に分布したランダム点を (n − 1) 次元球面（すなわち n 次元球の表面）上に生成するために、テンプレート:Harvtxt は以下のアルゴリズムを与える。

正規分布に従う n 次元ベクトル $𝐱=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ を生成する（実は分散の選択は任意であるが N(0, 1) を使うので十分である）。

今この点の「半径」 $r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$ を計算する。

ベクトル $\frac{1}{r}𝐱$ は単位 n 次元球の表面上一様に分布している。

例

例えば、n = 2 のとき正規分布 exp(−x₁²) は別の軸 exp(−x₂²) 上拡大されたとき掛けた後 exp(−x₁²−x₂²) あるいは exp(−r²) の形を取り、したがって原点からの距離のみに依存する。

別の方法

超球面上ランダム分布を生成する別の方法は超球の外にある点を除く単位超球を含む超立方体上の一様分布を作って残りの内点を原点から表面の上に外へ射影することである。これは一様分布を与えるが、外点を除く必要がある。超球の超立方体に対する相対的な体積は非常に急速に次元とともに減少するから、この手続はかなり小さい数の次元に対してのみ高い確率で成功する。

テンプレート:仮リンクは生成される全ての点が超球面の同じ半分にある確率を与える。

n 次元球から一様に無作為に

n 次元球の表面から一様に無作為に選ばれた点とともに、n 次元球内の一様に無作為に点を得るためには半径のみが必要である。u が区間 [0, 1] から一様に無作為に生成された数であり x が一様に無作為に n 次元球の表面から選ばれた点であれば、u^1/nx は全単位 n 次元球上一様に分布している。

具体的な球面

0 次元球面

ある R > 0 に対して離散位相を持った点の対 {±R} 。不連結な唯一の球面。自然なリー群構造を持ち、O(1) に同型。平行化可能。自己交叉を許して滑らかかつ連続的に1次元空間内で裏返しができる。

1 次元球面

円とも呼ばれる。非自明な基本群を持つ。可換リー群構造 U(1), 円周群。実射影直線 RP¹ に位相同型。平行化可能。SO(2) = U(1).

2 次元球面

球面とも呼ばれる。複素構造； リーマン球面参照。リーマン球面 CP¹ に等しい。SO(3)/SO(2). 自己交叉を許して滑らかかつ連続的に3次元空間内で裏返しができる（テンプレート:仮リンク）。

3 次元球面

平行化可能、2 次元球面テンプレート:仮リンク主 U(1) 束、リー群構造 テンプレート:仮リンク, また、

$\mathrm{Sp}(1)\cong \mathrm{SO}(4)/\mathrm{SO}(3)\cong \mathrm{SU}(2)\cong \mathrm{Spin}(3)$.

4 次元球面

テンプレート:仮リンク HP¹ に等しい。SO(5)/SO(4).

5 次元球面

CP² 上主 U(1) 束。SO(6)/SO(5) = SU(3)/SU(2).

6 次元球面

純単位八元数の集合から来る概複素構造。SO(7)/SO(6) = G₂/SU(3). 自己交叉を許して滑らかかつ連続的に7次元空間内で裏返しができる。

7 次元球面

単位八元数の集合として位相的テンプレート:仮リンク構造。S⁴ 上主 Sp(1) 束。平行化可能。SO(8)/SO(7) = SU(4)/SU(3) = Sp(2)/Sp(1) = Spin(7)/G₂ = Spin(6)/SU(3). 7 次元球面は特に面白いなぜなら最初のテンプレート:仮リンクが発見されたのはこの次元においてだったから。

8 次元球面

八元射影直線 OP¹ に等しい。

23 次元球面

最も高密度な球充填は 24 次元空間において可能であり、これはテンプレート:仮リンクの一意的なクオリティーに関係している。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• 超立方体
• 反転幾何学
• ループ (位相幾何学)
• 多様体
• メビウス変換
• 直交群
• 球冠
• 超球の体積

参考文献

• テンプレート:Cite book.
• テンプレート:Cite book (Chapter 20: 3-spheres and hyperbolic 3-spaces.)
• テンプレート:Cite book (Chapter 14: The Hypersphere)
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal

外部リンク

• Exploring Hyperspace with the Geometric Product
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath / テンプレート:PlanetMath