球冠

青で示された部分が球冠の一例である。

球冠（英語ではspherical cap, spherical domeやspherical segment of one baseという）とは、平面により切断された球の一部のこと。平面が球の中心を通り、球冠の高さが球体の半径と等しいときには半球となる。

体積と表面積

球冠の体積と曲面の面積は、次の値を組み合わせることで計算できる。

• 球の半径 $r$
• 球冠の底の半径 $a$
• 球冠の高さ $h$
• 球の中心から球冠の頂点（極）までの線と球冠の底を形作る円板の端との間の極角 $\theta$

	$r$ と $h$ を用いる	$a$ と $h$ を用いる	$r$ と $\theta$ を用いる
体積	$V=\frac{\pi h^2}{3}(3r-h)$	$V=\frac{1}{6}\pi h(3a^2+h^2)$	$V=\frac{\pi }{3}{r}^3(2+\cos \theta )(1-\cos \theta {)}^2$
表面積	$A=2\pi rh$	$A=\pi (a^2+h^2)$	$A=2\pi r^2(1-\cos \theta )$

$\varphi$ が地理座標における緯度を示す場合、$\theta +\varphi =\pi /2=90^{\circ }$である。

$h$ と $r$ の関係は$0\le h\le 2r$であれば問題ない。例えば、図の赤い部分は$h>r$の球冠である。

$r$ と $h$ を用いる式は、ピタゴラスの定理を用いて$r$の代わりに球冠の底面の半径$a$を用いる式に書き換えることができる。

$r^2=(r-h{)}^2+a^2=r^2+h^2-2rh+a^2,$

つまり

$r=\frac{a^2+h^2}{2h}.$

となる。 これを式に代入すると

$V=\frac{\pi h^2}{3}(\frac{3a^2+3h^2}{2h}-h)=\frac{1}{6}\pi h(3a^2+h^2),$

$A=2\pi \frac{(a^2+h^2)}{2h}h=\pi (a^2+h^2).$

となる。

球面扇形の体積から直感的に表面積を導出する

以下の議論ベースの計算とは別であるが、球冠の表面積は直感的な議論により球面扇形の体積 $V_{sec}$ から導出することができる。

$A=\frac{3}{r}{V}_{sec}=\frac{3}{r}\frac{2\pi r^{2}h}{3}=2\pi rh.$

直感的な議論は、総体積を無限小の三角錐の総体積を合計することに基づいている。角錐の体積の式$V=\frac{1}{3}b{h}^{\prime }$（$b$は各角錐の底面（球体の表面にある）の無限面積で、$h^{\prime }$ は底面から頂点（球の中心）までの各角錐の高さ）を用いる。極限をとったときの各$h^{\prime }$は定数であり、球の半径$r$と等しいため、無限小の角錐の底面積の合計は球冠の表面積に等しくなる。

$V_{sec}=\sum V=\sum \frac{1}{3}b{h}^{\prime }=\sum \frac{1}{3}br=\frac{r}{3}\sum b=\frac{r}{3}A$

計算を用いた体積と表面積の導出

緑の領域を回転させると、高さ $h$ で球の半径$r$の球冠を作ることができる

体積と表面積の式は次の関数

$f(x)=\sqrt{r^2-(x-r{)}^2}=\sqrt{2rx-x^2}$ ($x\in [0,h]$)

を調べ、表面積に対しては回転面の式、体積に対しては回転体の式を用いることで導出される。 表面積は

$A=2\pi \underset{0}{\overset{h}{\int }}f(x)\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx$

である。$f$の導関数は

$f^{\prime }(x)=\frac{r-x}{\sqrt{2rx-x^2}}$

であるから

$1+f^{\prime }(x{)}^2=\frac{r^2}{2rx-x^2}$

となる。よって表面積の式は

$A=2\pi \underset{0}{\overset{h}{\int }}\sqrt{2rx-x^2}\sqrt{\frac{r^2}{2rx-x^2}}dx=2\pi \underset{0}{\overset{h}{\int }}rdx=2\pi r{\left[x\right]}_0^h=2\pi rh$

となる。体積は

$V=\pi \underset{0}{\overset{h}{\int }}f(x{)}^{2}dx=\pi \underset{0}{\overset{h}{\int }}(2rx-x^2)dx=\pi {[r{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3]}_0^h=\frac{\pi h^2}{3}(3r-h)$

となる。

応用

2つの交差する球の和集合と交差部の体積

半径$r_1$ と $r_2$の球が交差したときの和集合の体積は、

$V=V^{(1)}-V^{(2)},$

ここで

$V^{(1)}=\frac{4\pi }{3}{r}_1^3+\frac{4\pi }{3}{r}_2^3$

は2つの独立した球の体積の合計で

$V^{(2)}=\frac{\pi h_1^2}{3}(3r_1-h_1)+\frac{\pi h_2^2}{3}(3r_2-h_2)$

は交差を作り出す2つの球冠の体積の合計。$d\le r_1+r_2$ が2つの球の中心間の距離であるとき、変数$h_1$ と $h_2$を消すと

$V^{(2)}=\frac{\pi }{12d}(r_1+r_2-d{)}^2(d^2+2d(r_1+r_2)-3(r_1-r_2{)}^2).$

となる。

平行な平板で囲まれた部分の表面積

2つの平行な平板で囲まれた球台の表面積は、それぞれの球冠の表面積の差である。半径$r$で高さが$h_1$ と $h_2$の球冠の場合、表面積は

$A=2\pi r|h_1-h_2|,$

であり、地理座標である緯度${\varphi }_1$ と ${\varphi }_2$を用いると

$A=2\pi r^2|\sin {\varphi }_1-\sin {\varphi }_2|,$

となる。例えば、地球を半径6371 kmの球と仮定すると、北極（2016年8月現在、北極圏である緯度66.56°より北）の表面積は、2テンプレート:Pi·6371²|sin 90° − sin 66.56°| = 2104万km²で、地球の総表面積の0.5·|sin 90° − sin 66.56°| = 4.125%である。

この式を用いることで、地球の表面積の半分が南緯30°と北緯30°の間にあることを示すことができる。この範囲は熱帯を包含する。

一般化

他の立体の部分

回転楕円体のドーム(spheroidal dome)は、ドームが円対称（回転軸を持つ）になるように回転楕円体の一部を切り取ることで得られる。楕円体から楕円体のドームも同様に得られる。

超球冠

一般的に、$n$次元ユークリッド空間における高さ$h$ で半径 $r$の超球冠の$n$次元の体積は

$V=\frac{{\pi }^{\frac{n-1}{2}}{r}^n}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n+1}{2}\right)}\underset{0}{\overset{\arccos \left(\frac{r-h}{r}\right)}{\int }}{\sin }^n(t)\mathrm{d}t$

で与えられる。ここで$\mathrm{\Gamma }$（ガンマ関数）は$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$で与えられる。

$V$の式は、n次元球体単位の体積$C_n={\pi }^{n/2}/\mathrm{\Gamma }[1+\frac{n}{2}]$や超幾何関数 ${}_2{F}_1$ 、正規化不完全ベータ関数 $I_x(a,b)$ を用いて

$V=C_n{r}^n(\frac{1}{2}-\frac{r-h}{r}\frac{\mathrm{\Gamma }[1+\frac{n}{2}]}{\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }[\frac{n+1}{2}]}{}_2{F}_1(\frac{1}{2},\frac{1-n}{2};\frac{3}{2};{\left(\frac{r-h}{r}\right)}^2))=\frac{1}{2}{C}_n{r}^n{I}_{(2rh-h^2)/r^2}(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2})$と表すことができ、

表面積の式$A$は、n次元球体単位の表面積$A_n=2{\pi }^{n/2}/\mathrm{\Gamma }[\frac{n}{2}]$を用いて

$A=\frac{1}{2}{A}_n{r}^{n-1}{I}_{(2rh-h^2)/r^2}(\frac{n-1}{2},\frac{1}{2})$

と表すことができる。ここで$0\le h\le r$である。

それより前に (1986, USSR Academ. Press) 次の式が導出されていた。 $A=A_n{p}_{n-2}(q),V=C_n{p}_n(q)$, where $q=1-h/r(0\le q\le 1),p_n(q)=(1-G_n(q)/G_n(1))/2$,

$G_n(q)=\underset{0}{\overset{q}{\int }}(1-t^2{)}^{(n-1)/2}dt$.

奇数$n=2k+1:$に対しては

$G_n(q)=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})\frac{q^{2i+1}}{2i+1}$.

漸近性

$n\to \mathrm{\infty }$および$q\sqrt{n}=\text{const.}$である場合、$p_n(q)\to 1-F(q\sqrt{n})$（$F()$は標準正規分布の積分）であることが示されている。

より定量的な方法でこれを書くと、境界$A/A_n=n^{\mathrm{\Theta }(1)}\cdot [(2-h/r)h/r{]}^{n/2}$が与えられる。 大きな球冠（$n\to \mathrm{\infty }$で$(1-h/r{)}^4\cdot n=O(1)$）の場合、境界は$n^{\mathrm{\Theta }(1)}\cdot e^{-(1-h/r{)}^{2}n/2}$と簡単にすることができる。

関連項目

• 弓形 — 2次元の物体への類推
• 立体角 — n次元球冠の式に含まれる
• 球台
• 半楕円体形
• テンプレート:仮リンク
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関連文献

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外部リンク

• テンプレート:MathWorld Derivation and some additional formulas.
• Online calculator for spherical cap volume and area.
• Summary of spherical formulas.