ゲーゲンバウアー多項式

数学において、ゲーゲンバウアー多項式（ケーゲンバウアーたこうしき、テンプレート:Lang-en-short）または超球多項式 (ultraspherical polynomials) $C_n^{(\alpha )}(x)$ とは、テンプレート:仮リンク (1849–1903) にちなんで命名された、区間 $[-1,1]$ 上で定義される重み関数 $(1-x^2{)}^{\alpha -1/2}$ の直交多項式をいう。ゲーゲンバウアー多項式は、ルジャンドル多項式及びチェビシェフ多項式の一般事例であり、テンプレート:仮リンクの特殊事例である。

性質

• 
  α =1 の場合のゲーゲンバウアー多項式
• 
  α =2 の場合のゲーゲンバウアー多項式
• 
  α =3 の場合のゲーゲンバウアー多項式

• 次の母関数により定義される：

$\begin{array}{cc}\frac{1}{(1-2xt+t^2{)}^{\alpha }}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n^{(\alpha )}(x)t^n\\ \frac{1-xt}{(1-2xt+t^2{)}^{\alpha +1}}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n+2\alpha }{2\alpha }{C}_n^{(\alpha )}(x)t^n\end{array}$

• 次の漸化式を満たす：

$\begin{array}{cc}{C}_0^{(\alpha )}(x)& =1\\ C_1^{(\alpha )}(x)& =2\alpha x\\ C_n^{(\alpha )}(x)& =\frac{1}{n}[2x(n+\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{(\alpha )}(x)]\end{array}$

• 次の常微分方程式（ゲーゲンバウアーの微分方程式）を満たす：

$(1-x^2)y^{″}-(2\alpha +1)x{y}^{\prime }+n(n+2\alpha )y=0$

• ロドリゲスの公式により次のように導出できる：

$C_n^{(\alpha )}(x)=\frac{(-2{)}^n}{n!}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha )\mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(2n+2\alpha )}(1-x^2{)}^{-\alpha +1/2}\frac{d^n}{d{x}^n}[(1-x^2{)}^{n+\alpha -1/2}]$

• 次の直交関係を満たす：

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{C}_n^{(\alpha )}(x)C_m^{(\alpha )}(x)(1-x^2{)}^{\alpha -\frac{1}{2}}dx=\frac{\pi 2^{1-2\alpha }\mathrm{\Gamma }(n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\mathrm{\Gamma }(\alpha ){]}^2}{\delta }_{nm}$

• ある角度の余弦を引数とする関数値について、次式が成り立つ：

$C_n^{(\alpha )}(\cos \theta )=\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +r)\mathrm{\Gamma }(n+\alpha -r)}{r!(n-r)![\mathrm{\Gamma }(\alpha ){]}^2}\cos (2r-n)\theta$

• $\alpha =1/2$ の場合がルジャンドル多項式に、$\alpha =1$ の場合が第二種チェビシェフ多項式に相当する。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:MathWorld

関連項目

• 超球面