傾き (数学)

平面上の直線の傾きは、垂直移動距離を水平移動距離で割った テンプレート:Mvar = テンプレート:Sfrac で定義される

数学における平面上の直線の傾き（かたむき、テンプレート:Lang-en-short）あるいは勾配（こうばい、テンプレート:Lang-en-short）は、その傾斜の具合を表す数値である。ただし、鉛直線に対する傾きは定義されない。一般的な用語として水平は傾いているとは言われないが、数学では「傾き０」とされ水平も傾きに含まれる。

傾きは普通、直線上の2点間の変化の度合い、すなわち テンプレート:Mvar の変化量に対する テンプレート:Mvar の変化量の比率として定義される。また、同値な定義として、傾き テンプレート:Mvar は傾斜角を テンプレート:Mvar として

$m=\tan \theta$

と書くことができる。

曲線上の微分可能な1点に対しても、傾斜の具合を表す数値（微分係数）が、傾きの考え方により定義できる。

傾きの概念は、地理学および土木工学における斜度や勾配（たとえば道路など）に直接応用される。

定義

テンプレート:Mvar平面上の直線の傾きは、テンプレート:Mvar座標の増加量に対する テンプレート:Mvar座標の増加量の比率と定義される。式で書けば、直線の傾き テンプレート:Mvar は

$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$

で記述される。ここで、ギリシア文字 "Δ"（デルタ）は、数学において「増加量」や「増分」を表す符牒としてよく用いられる。

増加量とは差のことなので、直線上の2点を任意に取り、それらを (テンプレート:Mvarテンプレート:Sub, テンプレート:Mvarテンプレート:Sub), (テンプレート:Mvarテンプレート:Sub, テンプレート:Mvarテンプレート:Sub) とする。このとき、テンプレート:Mvar は

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

で求められる。

これらの等式から分かるように、鉛直線（テンプレート:Mvar軸に平行な直線）の傾きは、ゼロ除算となり、定義されない。

（例）

直線が2点 $P(1,2)$, $Q(13,8)$ を通るとする。増加量として、テンプレート:Mvar に対する テンプレート:Mvar の増加量と考えるか、テンプレート:Mvar に対する テンプレート:Mvar の増加量と考えるかで符号の違いが現れるが、それらの商である傾きとしてはどちらも変わらない。ここでは テンプレート:Mvar に対する テンプレート:Mvar の増加量を考える。

テンプレート:Mvarの増加量 Δテンプレート:Mvar = 13 − 1 = 12

テンプレート:Mvarの増加量 Δテンプレート:Mvar = 8 − 2 = 6

傾き テンプレート:Mvar とは、テンプレート:Mvar座標の増加量 Δテンプレート:Mvar に対する テンプレート:Mvar座標の増加量 Δテンプレート:Mvar の比率のことなので、

$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8-2}{13-1}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

である。

直線が2点 $P(4,15)$, $Q(3,21)$ を通るならば、傾きは

$m=\frac{21-15}{3-4}=\frac{6}{-1}=-6$

である。

傾斜角による記述

傾斜の度合いを表す傾きは、傾斜角と関係が深い。たとえば、傾き 1 の直線の傾斜角は 45° である。傾き −1 ならば、傾斜角を 0°～180° の範囲で考えると 135°、−90°～90° の範囲で考えると −45° である。なお、鉛直線の傾きは定義されなかったが、傾斜角は定義され、90° である。

傾斜角とは、直線と テンプレート:Mvar軸の正の部分が作る角（反時計回りが正の向き）と定義される。取り得る範囲として 0° ≤ テンプレート:Mvar < 180° または −90° < テンプレート:Mvar ≤ 90° の2つの流儀がある（状況に応じて使い分ける）。

直線の傾きを テンプレート:Mvar、傾斜角を テンプレート:Mvar とすると、2つの間には、三角法における正接函数を用いて

$m=\tan \theta (⟺\theta =\arctan m)$

の関係がある。

性質

• 異なる2直線が平行であるための必要十分条件は、それらの傾きが等しいこと、または、傾きがともに定義されないことである。
• 異なる2直線が直交するための必要十分条件は、傾きの積が −1、または、傾きが 0 と定義されない場合であることである。

たとえば、傾き $\frac{2}{7}$ の直線に垂直な直線の傾きは $-\frac{7}{2}$ である。

• 傾き m の直線と傾き m' の直線が作る角 θ は

$\tan \theta =\pm \frac{m-m^{\prime }}{1+m{m}^{\prime }}$

で求められる（三角関数の加法定理）。

1次関数における傾き

傾き・切片

テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の一次関数であるとする。このとき、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar には テンプレート:Mvar = テンプレート:Mvar + テンプレート:Mvar と表される関係があり、そのグラフは直線となる。この直線の傾きは テンプレート:Mvar に等しい。

（証明）

テンプレート:Mvar = テンプレート:Mvar + テンプレート:Mvar のグラフ上の任意の2点 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar を取る。テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar座標をそれぞれ テンプレート:Mvarテンプレート:Sub, テンプレート:Mvarテンプレート:Sub とすると、テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar の座標は

テンプレート:Mvar (テンプレート:Mvarテンプレート:Sub, テンプレート:Mvarテンプレート:Sub + テンプレート:Mvar), テンプレート:Mvar (テンプレート:Mvarテンプレート:Sub, テンプレート:Mvarテンプレート:Sub + テンプレート:Mvar)

である。

テンプレート:Mvarの増加量 テンプレート:Mvar = テンプレート:Mvarテンプレート:Sub − テンプレート:Mvarテンプレート:Sub

テンプレート:Mvarの増加量 テンプレート:Mvar = (テンプレート:Mvarテンプレート:Sub + テンプレート:Mvar) − (テンプレート:Mvarテンプレート:Sub + テンプレート:Mvar)

= テンプレート:Mvarテンプレート:Sub − テンプレート:Mvarテンプレート:Sub

= テンプレート:Mvar (テンプレート:Mvarテンプレート:Sub − テンプレート:Mvarテンプレート:Sub)

傾き テンプレート:Mvar は、

$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{a(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=a$（証明終）

1次関数 テンプレート:Mvar = テンプレート:Mvar + テンプレート:Mvar において、テンプレート:Mvar を傾きと呼ぶのに対して、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar切片と呼ぶ。1次関数の テンプレート:Mvar切片は、グラフ（直線）が テンプレート:Mvar 軸と交わる点の テンプレート:Mvar 座標に等しい。したがって、テンプレート:Mvar = テンプレート:Mvar + テンプレート:Mvar の形の方程式を「傾き・切片標準形」と呼ぶこともある。

1次関数 テンプレート:Mvar = テンプレート:Mvar + テンプレート:Mvar のグラフは、テンプレート:Mvar軸平行の直線にはなりえないことに注意が必要である。

1次関数の決定

1次関数の傾き テンプレート:Mvar と直線上の1点 (テンプレート:Mvarテンプレート:Sub, テンプレート:Mvarテンプレート:Sub) が既知ならば、1次関数の方程式は

$y-y_1=m(x-x_1)$

で与えられる（これを「点・傾き標準形」と呼ぶことがある）。

（例）

1次関数のグラフが2点 (2, 8), (3, 20) を通るとする。1次関数の傾き テンプレート:Mvar は

$\frac{20-8}{3-2}=12$

だから、直線の方程式は1点・傾き標準形で

テンプレート:Mvar − 8 = 12(テンプレート:Mvar − 2)

と求まる。これはつまり

テンプレート:Mvar = 12テンプレート:Mvar − 16

である。

直線の一般形

前述の通り、1次関数のグラフは全ての直線を表さない。2変数線型方程式の一般形

$ax+by+c=0$

は全ての直線を表す。テンプレート:Mvar ≠ 0 ならば、傾きが存在し、$-\frac{a}{b}$ である。

直線の切片形

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ の形の方程式は切片形と呼ばれる。このとき テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の1次関数で、

テンプレート:Mvar切片が テンプレート:Mvar

テンプレート:Mvar切片が テンプレート:Mvar

となる。この直線の傾きは $-\frac{b}{a}$ である。

方向ベクトルとの関係

直線の傾きが テンプレート:Mvar であることは、その直線の方向ベクトルが (1, テンプレート:Mvar) であることと同値である。

微分係数

各点における微分係数とは、その点における曲線の接線の傾きのことである。各点に対して図の直線は常に曲線（青）の接線を表す。接線を、微分係数が正のときは緑、負のときは赤、0 のときは黒で表している。

曲線上の1点に対しても、そこで微分可能ならば、傾斜の具合を表す数値としての傾きが定義できる。

テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を曲線上の2点間のそれぞれ テンプレート:Mvar座標、テンプレート:Mvar座標の増加量とすると、その2点を通る直線（弦という）の傾き テンプレート:Mvar は

$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$

である。この2点間を狭めたときの テンプレート:Mvar の極限が、そこを直線として近似した傾きと考えられる。これは接線の傾きであり、微分係数と呼ばれる。場所 テンプレート:Mvar を変数とした

$\frac{dy}{dx}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$

を、曲線の導関数と呼ぶ。

微分係数が定義できない例としては、次のような例がある。

• 三角屋根型
  • テンプレート:Mvar = |テンプレート:Mvar| における テンプレート:Mvar = 0
• 振動型
  • $y=\{\begin{array}{cc}x\sin \frac{1}{x}& (x\ne 0)\\ 0& (x=0)\end{array}$（これは テンプレート:Mvar = 0 で連続である）における テンプレート:Mvar = 0
  • ワイエルシュトラス関数

関連項目

• 勾配 (ベクトル解析): 多変数への一般化
• 平面における直線の標準形
• 縦断勾配