連続 (数学)

テンプレート:Dablink テンプレート:混同 テンプレート:Redirect テンプレート:複数の問題 テンプレート:Calculus 数学において、連続（れんぞく、テンプレート:Lang-en-short）および連続性（れんぞくせい、テンプレート:Lang-en-short）とは、点の集合が切れていないことを表す概念である。それの厳密な定義は極限によって定式化される。数学における連続の概念は、位相空間の間の写像に対して拡張され、開集合などといった位相的な概念を一定の方法で保つという条件によって連続性の概念が定められる。これは異なる位相空間の間の関係を表す最も基本的な枠組みであるテンプレート:Efn2。 テンプレート:See also

一変数実関数の連続性

以下に1変数実関数の場合を主として、関数の連続性および様々な派生概念を述べる。

各点連続

イプシロン-デルタ論法による関数の連続性のGIFアニメーション

テンプレート:Main 連続性は、各点の周りで考えられる概念である。1変数実関数 テンプレート:Math がある点 テンプレート:Math で連続であるとは、テンプレート:Mvar が テンプレート:Math に限りなく近づくならば、テンプレート:Math が テンプレート:Math に限りなく近づくことを言う：

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$

これはε-δ論法を用いれば次のように定式化できる：

任意の正の数 テンプレート:Mvar に対して、ある正の数 テンプレート:Mvar が存在し、テンプレート:Math との距離が テンプレート:Mvar 未満であるどんな テンプレート:Mvar に対しても、テンプレート:Math は テンプレート:Math の差が テンプレート:Mvar より小さくなる：

${}^{\mathrm{\forall }}\epsilon >0,{}^{\mathrm{\exists }}\delta >0\text{s.t.}{}^{\mathrm{\forall }}x[|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon ]$

また、関数 テンプレート:Math がある区間 I で連続であるとは、I に属するそれぞれの点で連続であることを言う：

${}^{\mathrm{\forall }}{x}_0\in I,{}^{\mathrm{\forall }}\epsilon >0,{}^{\mathrm{\exists }}\delta >0\text{s.t.}{}^{\mathrm{\forall }}x\in I[|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\epsilon ]$

関数 テンプレート:Math が多変数であったり、またはベクトル値関数である場合にも、基本的には上の絶対値の記号をノルム（長さ）に変更すれば同じようにして連続性を定義することができる。関数空間のような無限個の変数で表される対象や、さらに抽象的な位相空間上で定義された写像についての連続性は近傍系やフィルター、有向点族（ネット）などの概念を通じて定義される。

一般の位相空間に対して

一般に、テンプレート:Mvar を位相空間 テンプレート:Mvar から位相空間 テンプレート:Mvar への写像とするとき、テンプレート:Mvar が テンプレート:Math2 で連続であるとは、テンプレート:Math2 の任意の近傍 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar のある近傍 テンプレート:Mvar を取れば、それの像が テンプレート:Math2 とできることをいう。

これは、テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Math を含む任意の近傍の テンプレート:Mvar による逆像がまた テンプレート:Mvar の近傍であるとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar において連続であるというと言い換えることができる。また、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 全体で連続であるということは、単に テンプレート:Mvar の任意の開集合の逆像がまた テンプレート:Mvar の開集合であるのと同じである。

実数や複素数（あるいはその列）の全体に対して、絶対値（あるいはノルム）を距離関数として距離空間の位相を導入すれば、「連続関数」は「連続写像」の例であることが理解される。

一様連続

テンプレート:Main 各点連続よりも強い概念に一様連続性の概念がある。1変数実関数 テンプレート:Math についてこれは次のように定義される。

任意の正の数 テンプレート:Mvar に対して、正の数 テンプレート:Mvar が存在し、距離が テンプレート:Mvar 未満であるどんな数 テンプレート:Math2 に対しても、テンプレート:Math と テンプレート:Math との差が テンプレート:Mvar より小さくなっているならば、テンプレート:Mvar は一様連続であるという。つまり、区間 テンプレート:Math2 で定義された テンプレート:Math2 が テンプレート:Mvar 上一様連続とは、

${}^{\mathrm{\forall }}\epsilon >0,{}^{\mathrm{\exists }}\delta >0\text{s.t.}{}^{\mathrm{\forall }}x,y\in I[|x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon ]$

ということである。定義より、ある関数が区間 テンプレート:Mvar 上一様連続ならばそれは テンプレート:Mvar 上連続でもある。一般的にこの逆は成り立たないが、区間 テンプレート:Mvar が有界閉区間ならば逆も成り立つ（ハイネ・カントールの定理）。

この概念は距離空間の間の、あるいは一様空間の間の写像の一様連続性として抽象化される。有界閉区間上の関数に対する連続性と一様連続性の一致は、コンパクト空間が自然に一様空間の構造をもつということで説明される。

ヘルダー連続

テンプレート:Main 一様連続性の特別な場合として、ヘルダー連続性の概念がある。一変数実関数 テンプレート:Mvar の値 テンプレート:Math と テンプレート:Math の差が テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の差のべき乗に比例するある量で抑えられるとき テンプレート:Mvar はヘルダー連続であるという。

リプシッツ連続

テンプレート:Main ヘルダー連続性のさらに特別な場合として、リプシッツ連続性の概念がある。一変数実関数 テンプレート:Math について、テンプレート:Math と テンプレート:Math の差が テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の差に比例するある量で抑えられるとき テンプレート:Mvar はリプシッツ連続 (Lipschitz continuous) であるという。つまり、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 上リプシッツ連続であるとは、テンプレート:Mvar が次の条件を満たすことである:

${}^{\mathrm{\exists }}L>0\text{s.t.}{}^{\mathrm{\forall }}x,y\in I[|f(x)-f(y)|\le L|x-y|]$

この条件は、リプシッツ条件 (Lipschitz condition) と呼ばれる。テンプレート:Mvar がリプシッツ条件を満たすための テンプレート:Mvar の値を テンプレート:Mvar の リプシッツ定数 (Lipschitz constant) という。そのような最小の テンプレート:Mvar をリプシッツ定数ということもある。

この概念は距離空間の間の写像に対して抽象化される。

不連続関数

• ガウス記号 テンプレート:Math によって実数から実数への関数 テンプレート:Math2 を定義しよう。この関数は、各整数の点で不連続である。この場合、関数のグラフにはギャップができる。ギャップのある不連続点を第一種不連続点という。これは正確には、テンプレート:Math2 の両側に極限が存在するが、両者の極限が等しくならないようなものである。これは不連続点の中では最も連続に近いものである。
• テンプレート:Math は テンプレート:Math2 での値をどのように定めてもこの点で不連続になる。これは第一種不連続点ではない。
• テンプレート:Mvar が有理数なら テンプレート:Math、無理数なら テンプレート:Math の値をとる関数 テンプレート:Math をディリクレの関数と呼ぶ。これは テンプレート:Mathbf 上の全ての点で不連続である。単純だが極端な不連続関数の例として積分論などの議論で重宝される。
• 関数 テンプレート:Mvar を、テンプレート:Mvar が無理数の場合は テンプレート:Math2 と定義し、有理数の場合は テンプレート:Math2（テンプレート:Mvar は整数、テンプレート:Mvar は正の整数でこれらは互いに素）と表し、この テンプレート:Mvar を使って テンプレート:Math2 と定義すると、テンプレート:Mvar は無理数では連続、有理数では不連続となる。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• 実数
• 位相空間
• 距離空間
• 絶対連続
• 同程度連続
• 半連続
• 不連続性の分類
• 微分可能関数