イプシロン-デルタ論法

テンプレート:脚注の不足 解析学において、ε-δ論法（イプシロンデルタろんぽう、テンプレート:Lang-en）とは、実数値のみを用いることで（無限を直接に扱うことを回避しながら）関数の極限を定義する方法である。本来は使用する文字は何でも良いが、慣例的に「ε」「δ」が使用されることが多いので、このような名称が付けられた。

「異なる値を取りながら、限りなく近づく」という定義が忌避されるのは、厳密性に欠けるからではなく、「限りなく（＝無限）」を直接に扱っているからである。

列の極限を定義する類似の方法にε-N論法（イプシロンエヌろんぽう）があり、本記事ではこれも扱う。

歴史的背景

ニュートンとライプニッツが創設した微分積分学は、無限小（どんな正の実数よりも小さな正の数）や無限大（どんな実数よりも大きな数）といった実数の範囲では定義できない概念を用いている。このような状況はオイラーによって微分積分学が大幅な発展を遂げる18世紀まで継続された。当時の数学者達は級数の発散や収束に関する定義に無頓着なまま理論を発展させていったため、しばしば誤った結論が導かれてしまうことがあった。

19世紀に入るとコーシーやベルナルト・ボルツァーノらによって、厳密な定義に基づいて微分積分学を再構築しようとする試みがなされるようになる。この時期から収束や連続に関する定義は厳密化されていく。ε-δ論法は1860年代のカール・ワイエルシュトラスの講義によって完成されたもので、これによって無限小や無限大という概念を一切使用せずに収束・連続が定義されるようになった。数学史において、微積分学を完成させたとする評価もあるコーシーは『解析教程』(Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique) で、ε-δ論法を用いて関数の連続性の定義を行った。しかし、この時点でも、連続と一様連続の区別はなかったためにコーシーは自著の中でそのことに起因する誤りをおかしている。

なお、ε-δ論法の登場により一度は数学から追放された無限小や無限大を用いる解析も現代では超実数を用いることで正当化され、超準解析（Non-standard analysis または古典的に無限小解析 Infinitesimal analysis とも呼ばれる）という分野で研究されている。

関数値の収束

限りなく近付くという極限の概念は、以下に示す、有限の値をとる変数の論理式だけで定義することができる。

実関数 テンプレート:Math2 に対して、極限の式

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=b$

とは、

（もし）テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar に限りなく近づけさえすれば、テンプレート:Math は（必ず）テンプレート:Mvar に近づく

ことであった。これを ε-δ論法で定義すると

${}^{\mathrm{\forall }}\epsilon >0,{}^{\mathrm{\exists }}\delta >0;{}^{\mathrm{\forall }}x\in ℝ[0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\epsilon ]$

となる。これは

任意の正の数 テンプレート:Mvar に対し、ある適当な正の数 テンプレート:Mvar が存在して、テンプレート:Math2 を満たす全ての実数 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Math2 が成り立つ。

という意味の条件である。ε-δ論法による極限値の定義の妥当性は次のようになる。

テンプレート:Math が テンプレート:Mvar にいくらでも近づくとは、有限値で表現すると、任意の テンプレート:Math2 に対して、テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar近傍に属するようになっていくということになる。そこで、テンプレート:Mvar の値に応じて テンプレート:Math2 が存在し、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 近傍に属していれば、それを満たすということになる。

テンプレート:Math2 は無限小でなく有限の値であるが、それぞれいくらでも小さい値を取れるということが極限の概念を明確に定義している。テンプレート:Math2 の一つを テンプレート:Math とするとき、テンプレート:Math に対応する テンプレート:Math を選べば テンプレート:Math2 を成り立たせることができるが、テンプレート:Math よりもさらに小さい テンプレート:Math2（例えば テンプレート:Math）を考えると、成立しなくなりうる。しかしその分より小さい テンプレート:Math を適当に取ることで、テンプレート:Math2 が成り立つようにできる。

否定である、極限が存在しないとは、ある テンプレート:Mvar で テンプレート:Mvar が存在しないとなる。

条件を満たすとき、正の数 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar に依存する変数である。テンプレート:Mvar に対する テンプレート:Mvar は一般に1つとは限らず無数にあるが、1つでも見つければ存在を示したことになる。例えば

$\underset{x\to 3}{\lim }{x}^2=9$

を ε-δ論法で考えると次のようになる。任意の テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math2 と取れば

$0<|x-3|<\delta =\sqrt{\epsilon +9}-3$

ならば

$|x^2-9|=|x+3||x-3|<(\delta +6)\delta =(\sqrt{\epsilon +9}+3)(\sqrt{\epsilon +9}-3)=\epsilon$

なので

${}^{\mathrm{\forall }}\epsilon >0,{}^{\mathrm{\exists }}\delta >0;x\in ℝ[0<|x-3|<\delta \Rightarrow |x^2-9|<\epsilon ]$

が成り立ち、テンプレート:Math2 のとき テンプレート:Math2 となることが ε-δ論法により示されたことになる。

数列の収束

実数列 テンプレート:Math2 の極限値が

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=b$

であるとは、テンプレート:Mvar を大きくすれば テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar に限りなく近づくという意味であった。

これを有限値による論理式で定義すると

${}^{\mathrm{\forall }}\epsilon >0,{}^{\mathrm{\exists }}N\in \mathbb{N}\mathrm{s}\mathrm{.}\mathrm{t}\mathrm{.}{}^{\mathrm{\forall }}n\in \mathbb{N}[n>N\Rightarrow |a_n-b|<\epsilon ]$

となる。これは

任意の正の数 テンプレート:Mvar に対し、ある適当な自然数 テンプレート:Mvar が存在し、テンプレート:Mvar より大きい全ての自然数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math2

が成り立つ、という意味である。この論理式は テンプレート:Mvar ではなく テンプレート:Mvar を使うため ε-δ論法ではなく ε-N論法と呼ばれる。ε-N論法による数列の極限の定義の妥当性は次のようになる。

テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar にいくらでも近づくとは、有限値で表すと、任意の正の数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar近傍に属していくということになる。そこで、十分大きな テンプレート:Mvar を取ると、テンプレート:Mvar より大きい全ての番号 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar近傍に入るということになる。ここで テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar に依存する数である。

ε-δ論法では テンプレート:Mvar が小さくするにつれて テンプレート:Mvar を小さくとらなければならないが、ε-N論法では テンプレート:Mvar を小さくするにつれて テンプレート:Mvar を大きくしなければならない。

例えば テンプレート:Math2 のとき テンプレート:Math2 となるように テンプレート:Mvar を取れば テンプレート:Math2 という条件のもとで

$|\frac{n+1}{n}-1|=\frac{1}{n}<\frac{1}{N}<\epsilon$

となるので

${}^{\mathrm{\forall }}\epsilon >0,{}^{\mathrm{\exists }}N\in \mathbb{N}\mathrm{s}\mathrm{.}\mathrm{t}\mathrm{.}{}^{\mathrm{\forall }}n\in \mathbb{N}[n>N\Rightarrow |a_n-1|<\epsilon ]$

が成り立ち、数列 テンプレート:Mvar は テンプレート:Math に収束することが ε-N論法による定義に基づき示される。

関数の連続性

実関数 テンプレート:Math2 が

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$

を満たすとき、テンプレート:Math は テンプレート:Math2 で連続であるという。この条件は関数の極限を ε-δ論法で表すことで定義される。開区間 テンプレート:Math2 上の任意の点 テンプレート:Math2 で テンプレート:Math が連続であるとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 上連続であるという。これを ε-δ論法で定義すると

${}^{\mathrm{\forall }}\epsilon >0,{}^{\mathrm{\forall }}a\in I,{}^{\mathrm{\exists }}\delta >0\mathrm{s}\mathrm{.}\mathrm{t}\mathrm{.}{}^{\mathrm{\forall }}x\in I[|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon ]$

となる。

s.t.句の最初に現れる テンプレート:Math2 という条件によって テンプレート:Mvar が閉区間 テンプレート:Math2 の時もその端点での テンプレート:Math の片側連続性

$\underset{x\to p+}{\lim }f(x)=f(p)$

$\underset{x\to q-}{\lim }f(x)=f(q)$

が定義される。半開区間 テンプレート:Math2 や テンプレート:Math2 などのときも同様である。

このように連続性を ε-δ論法で定義した場合 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の両方に依存する可能性がある。

連続性の定義の条件の順序を変えて

${}^{\mathrm{\forall }}\epsilon >0,{}^{\mathrm{\exists }}\delta >0\mathrm{s}\mathrm{.}\mathrm{t}\mathrm{.}{}^{\mathrm{\forall }}a\in I,{}^{\mathrm{\forall }}x\in I[|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon ]$

とした場合、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar のみに依存し、テンプレート:Mvar に依存しない。この時 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上一様連続であるという。

例えば、テンプレート:Math2 とし、その上で定義された関数 テンプレート:Math2 は、連続であるが一様連続ではない。なぜなら、どんな テンプレート:Mvar を選んでも、$a=\min (\delta ,1)$, テンプレート:Math2 のとき

$|x-a|=|\frac{a}{1+a}-a|=\frac{a^2}{1+a}<a=\min (\delta ,1)\le \delta$

かつ

$|\frac{1}{x}-\frac{1}{a}|=|\frac{1+a}{a}-\frac{1}{a}|=1$

であるから、テンプレート:Math2 となる テンプレート:Mvar に対して条件を満たすような テンプレート:Mvar は存在しない。

この テンプレート:Math というのは本質的ではなく、この場合は、どんな テンプレート:Mvar に対しても条件を満たすような テンプレート:Mvar が存在しないことが分かる。

このように有界な区間上で定義された連続な関数で無限大に発散しているようなものなどが、連続だが一様連続ではない例としてよく用いられる。

関数列の収束

区間 テンプレート:Mvar 上で定義された実関数の列 テンプレート:Math2 に対してI 上で定義される実関数 テンプレート:Math が存在し、各 テンプレート:Math2 に対して極限の式

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}_n(x)=f(x)$

が成り立つとき、関数列 テンプレート:Math は テンプレート:Math に各点収束（かくてんしゅうそく）するという。

上記を ε-N 論法で定義すれば

${}^{\mathrm{\forall }}\epsilon >0,{}^{\mathrm{\forall }}x\in I,{}^{\mathrm{\exists }}N\in \mathrm{N}\mathrm{s}\mathrm{.}\mathrm{t}\mathrm{.}{}^{\mathrm{\forall }}n\in \mathbb{N}[n>N\Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\epsilon ]$

となる。テンプレート:Mvar は テンプレート:Math2 に依存する。テンプレート:Math などの特定の値で関数列を見たときに テンプレート:Math2 が数列として テンプレート:Math に収束するという意味である。

条件の順序を変えた

${}^{\mathrm{\forall }}\epsilon >0,{}^{\mathrm{\exists }}N\in \mathbb{N}\mathrm{s}\mathrm{.}\mathrm{t}\mathrm{.}{}^{\mathrm{\forall }}x\in I,{}^{\mathrm{\forall }}n\in \mathbb{N};[n>N\Rightarrow |f_n(x)-f(x)|<\epsilon ]$

が成立するとき、 関数列 テンプレート:Math は テンプレート:Math に一様収束（いちようしゅうそく）するという。

この条件は各点収束と違い、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar と無関係に テンプレート:Mvar のみに依る、言い換えると区間 テンプレート:Mvar 内の全ての テンプレート:Mvar に共通の テンプレート:Mvar が取れる、という意味である。

例えば テンプレート:Math2 上で定義される テンプレート:Math2 は テンプレート:Math2 という定数関数に各点収束するが、一様収束はしない。テンプレート:Mvar を テンプレート:Math より小に取れば、どのように テンプレート:Mvar を大きく取っても、例えば テンプレート:Math2 と テンプレート:Math2 に対して テンプレート:Math2 となってしまうためである。

I の両端点まで含めた区間 テンプレート:Math2（テンプレート:Mvar の閉包）上で考えると、テンプレート:Math2 は テンプレート:Math2 では テンプレート:Math2 に各点収束し、テンプレート:Math2 では常に テンプレート:Math2 で、テンプレート:Math2 とは連続ではない。こういった事情が、各点収束なのに一様収束ではないという性質と繋がっている。

数学教育における取り扱い

微積分学の定理の内、特に関数の極限に関する定理は、この ε-δ論法による定義に基づき証明される。言葉を代えれば、ε-δ論法を用いない微分積分学は厳密な定義に基づかないため、数学界では高校数学の段階で ε-δ論法による定義を教えるべきである、という意見もある。一方で、数学以外の自然科学を含む多くの分野ではε-δ論法により定義されるほどの厳密さを用いなくても、(過程はともかく)結果的には正しい結論に至ることが多く、それらの分野においては大学教育であっても不要と見なす意見もあり、ε-δ論法による定義を教えることの必要性は、数学教育における古くて新しい論争である。

より深く知りたい人のための参考書の例

• テンプレート:Cite book
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参考文献

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関連項目

• 連続 (数学)
• 極限
• はさみうちの原理
• 0.999...

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