ハイネ・カントールの定理

テンプレート:出典の明記 ハイネ・カントールの定理（テンプレート:Lang-en）とは、次のような定理である。

M をコンパクトな距離空間、N を距離空間とする。このとき、任意の連続関数 f  : M → N は一様連続である。

微分積分学における言明

微分積分学では次のように表現される。

定理　有界閉区間 I 上の連続関数 f : I → R は一様連続である。

証明

実数 $\epsilon >0$ を任意に取る。連続性より、各 $x\in M$ に対して $U_x:=f^{-1}(D_N(f(x);\epsilon /2))$ は $x$ を含む $M$ の開集合である。ここで $D$ は開球を表す。$D_M(x;2\delta )\subseteq U_x$ となるような $D_M(x;\delta )$ たちの全体は $X$ の開被覆を成す。$X$ はコンパクトだから有限部分被覆 $\{D(x_i;{\delta }_i)\mid i=1,\dots ,n\}$ が取れる。$\delta :=\underset{i}{\min }{\delta }_i$ と置く。いま $x,y\in M$ について $d_M(x,y)<\delta$ と仮定する。ある $i$ に対して $x\in D_M(x_i;{\delta }_i)$ である。よって三角不等式より $y\in D_M(x_i;\delta +{\delta }_i)\subseteq D_M(x_i;2{\delta }_i)$ である。ここから $x,y\in U_{x_i}$ が分かる。すなわち $f(x),f(y)\in D_N(f(x_i);\epsilon /2)$ である。三角不等式から $d_N(f(x),f(y))<\epsilon$ が分かる。

関連項目

• エドゥアルト・ハイネ
• ゲオルク・カントール