ディラック方程式

テンプレート:Expand English テンプレート:出典の明記 テンプレート:場の量子論 ディラック方程式（ディラックほうていしき、テンプレート:Lang-en-short）は、フェルミ粒子を記述するディラック場が従う基礎方程式である。ポール・ディラックにより相対論的量子力学として導入され、場の量子論に受け継がれている。

歴史

非相対論的なシュレーディンガー方程式を、相対論へ対応するための拡張として、最初クライン-ゴルドン方程式が考案された。これは負のエネルギー解と負の確率密度の問題が生じた（この問題は、その後の場の量子論においては回避される）。また、クライン-ゴルドン方程式にはスピンが出てこない問題もあった（これはクライン-ゴルドン方程式に従うスカラー場がスピンを持たない粒子を記述する為である）。

ポール・ディラックは1928年にディラック方程式を基礎方程式とする（特殊）相対論的量子力学を見出した。ディラック方程式からは負の確率密度は生じず、スピンの概念が自然に現れる。

しかしディラック方程式からは、自然界には存在しないような負のエネルギーの状態が現れるという問題があった。オスカル・クラインは、ある種の強いポテンシャルのもとで正エネルギーの電子が負エネルギー状態へ遷移しうることを示して、理論から負エネルギー状態を完全に排除することが困難であることを指摘した。

1930年にディラックは「真空とは、負エネルギーの電子が完全に満たされた状態である」とするディラックの海の概念（空孔理論、テンプレート:En）を考案した。ディラックの海では負エネルギーの電子が取り除かれた「空孔」が生じることがあるが、ディラックは当初この空孔による粒子を陽子であると考えた。後に空孔は陽電子であることが指摘された（ヘルマン・ワイル、ロバート・オッペンハイマーによる）。ディラックの海の空孔は正のエネルギーを持ち、反粒子に対応する。光による電子と陽電子の生成は、真空中の負エネルギー電子が光を吸収して正エネルギー状態へ遷移し、あとに空孔を残す現象として説明される。1932年のデヴィッド・アンダーソンによる陽電子の発見により、ディラックの海は現実の現象を説明する優れた理論とされた。

その後、リチャード・P・ファインマン等により拡張、解釈の見直しが図られた（相対論的な場の量子論）。その結果、ディラックの海を考えなくとも、電子と陽電子を対称に扱うことができるようになった。 テンプレート:Main

ディラック方程式

ディラック方程式は $\hslash =1,c=1$ とする自然単位系では テンプレート:Indent と表される。ψ は4成分スピノルの場（ディラック場）である。 テンプレート:Indent m は ψ の質量である。μ=0,1,2,3 についてはアインシュタインの縮約記法を用いる。微分${\partial }_{\mu }$ は テンプレート:Indent である。 ${\gamma }^{\mu }$ はガンマ行列（ディラック行列）と呼ばれる 4×4行列で テンプレート:Indent を満たす。${\eta }_{\mu \nu }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(+1,-1,-1,-1)$ はミンコフスキー空間の計量テンソルである。ディラック方程式は3次元的に書けば テンプレート:Indent となる。移項して左から ${\gamma }^0$ を掛ければ テンプレート:Indent と表すことができる。 ただし ${\alpha }^j={\gamma }^0{\gamma }^j,\beta ={\gamma }^0$ である。ここで$H=-i\mathit{\alpha }\cdot \mathrm{\nabla }+\beta m$ はディラックのハミルトニアンと呼ばれる。

ディラックの着想

相対論的な量子力学の基礎方程式として考案されたクライン-ゴルドン方程式 テンプレート:Indent は、時間について2階の微分方程式であることから負の確率密度を生じ、確率解釈が困難となる問題を抱えていた。これを時間について1階の微分方程式 テンプレート:Indent に帰着させるべく、ディラックは空間成分についての2階微分を1階微分に分解した関係式 テンプレート:Indent を満たすように４つの係数 α=(α₁, α₂, α₃)、β を与えることを考えた。このとき、α_i(i=1,2,3)、βに要求される代数関係は テンプレート:Indent テンプレート:Indent となるが、こうした性質を満たすには係数は行列でなくてはならない。

ローレンツ共変性

ディラック方程式は相対論的な方程式であり、ローレンツ共変性を持つ。

即ち、ローレンツ変換

$x^{\mu }\to x{\text{'}}^{\mu }={\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }{x}^{\nu }$

${\psi }_a(x)\to \psi {\text{'}}_a(x)=[D(\mathrm{\Lambda }){]}_a{}^b{\psi }_b({\mathrm{\Lambda }}^{-1}x)$

(μ,ν=0,1,2,3は時空の4成分、a, b = 1,2,3,4 はスピノルの4成分)に対して、

$(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m){\psi }^{\prime }(x)=0$

となる。ディラックスピノルの変換性をあらわす4×4行列 D(Λ) は

$[D(\mathrm{\Lambda }){]}_a{}^c[{\gamma }^{\mu }{]}_c{}^d[D(\mathrm{\Lambda }{)}^{-1}{]}_d{}^b=({\mathrm{\Lambda }}^{-1}{)}^{\mu }{}_{\nu }[{\gamma }^{\nu }{]}_a{}^b$

によって定まる。

ワイル表示においては行列式 1 の2×2行列 M を用いて

$D(\mathrm{\Lambda })=\left(\begin{array}{cc}M& \mathrm{𝟎}\\ \mathrm{𝟎}& (M^{†}{)}^{-1}\end{array}\right)$

$M{\sigma }^{\mu }{M}^{†}=({\mathrm{\Lambda }}^{-1}{)}^{\mu }{}_{\nu }{\sigma }^{\nu }$

と書くことができる。例えば、z-方向のブーストの場合は

${\mathrm{\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }=\left(\begin{array}{cccc}\cosh \beta & 0& 0& \sinh \beta \\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ \sinh \beta & 0& 0& \cosh \beta \end{array}\right)$

$M=\left(\begin{array}{cc}{e}^{-\beta /2}& 0\\ 0& e^{\beta /2}\end{array}\right)$

となる。

参考文献

原論文

• テンプレート:Cite journal

関連項目

• 相対性理論
• 量子力学
• 場の量子論
• 運動方程式
  • クライン＝ゴルドン方程式 - スピン0の相対論的ボース粒子。スカラー場。
  • マクスウェル方程式 - スピン1、質量0の相対論的ボース粒子。ベクトル場。
  • プロカ方程式 - スピン1、質量が0でない相対論的ボース粒子。ベクトル場。
  • ラリタ＝シュウィンガー方程式 - スピン3/2。ベクトル・スピノル場（ラリタ＝シュウィンガー場）。
  • アインシュタイン方程式 - スピン2。
  • マクシモン - 修正ディラック方程式