直交行列

テンプレート:Redirect テンプレート:混同 テンプレート:No footnotes 直交行列（ちょっこうぎょうれつ, テンプレート:Lang-en-short）とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまり テンプレート:Mvar×テンプレート:Mvar の行列 テンプレート:Mvar の転置行列を テンプレート:Mvar^{テンプレート:Mvar} と表すときに、 テンプレート:Math を満たすような テンプレート:Mvar のこと。ただし、 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 次の単位行列であり、 テンプレート:Mvar 自身も直交行列である。

有限次元実計量ベクトル空間の直交変換は、ある正規直交基底に関して実直交行列（成分が全て実数の直交行列）によって定まる線形変換である。ただし、直交変換とは（必ずしも有限次元でない）実計量ベクトル空間 テンプレート:Mvar において内積を変えない（等長性をもつ）線形変換 テンプレート:Mvar のことである。すなわち、 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の任意のベクトルとするときに、テンプレート:Math が成り立つ。ただし、テンプレート:Math は内積を表す。

定義

テンプレート:Mvar 次正方行列 テンプレート:Mvar の 転置行列 テンプレート:Math が テンプレート:Mvarの逆行列になっているとき、すなわち テンプレート:Math を満たすとき、テンプレート:Mvar は直交行列であるという。

直交行列は内積を保つ線型変換としても定義できる。実計量ベクトル空間 テンプレート:Mvar の任意のベクトル テンプレート:Mvar に対し、内積を テンプレート:Math とする。テンプレート:Mvar が行列 テンプレート:Mvar により テンプレート:Mvar に変換されたとき、内積は

$(Mv,Mw)=(Mv{)}^{T}Mw=v^T{M}^{T}Mw=v^{T}w=(v,w)$

となるので、行列 テンプレート:Mvar が直交行列であるのは計量ベクトル空間 テンプレート:Mvar の内積を変えないとき、かつそのときに限る。

直交行列は正則行列であり、直交行列は積や逆について閉じている。テンプレート:Mvar 次直交行列全体の集合を テンプレート:Mvar 次直交群といい、テンプレート:Mvar(テンプレート:Mvar) と書く。行列式の値が1となる直交行列全体の集合を特殊直交群といい、テンプレート:Mvar(テンプレート:Mvar) と書く。

例

回転行列

2次元ユークリッド空間において、原点を中心に角 テンプレート:Mvar の回転をあらわす2次直交行列は以下で表される。

$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

置換行列

2次の正方行列において、1行目と2行目を置換させる置換行列は以下で表される。

$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

反射行列

単位ベクトル テンプレート:Mvar に直交する超平面についての鏡映を与える反射行列（ハウスホルダー行列）テンプレート:Mvar は、以下の式で与えられ、直交行列となる（テンプレート:Mvar は単位行列）。

$H=I-2u{u}^{\mathrm{\top }}$

性質

• 直交行列の行列式の値は ±1 であるテンプレート:Efn2。実際、行列 テンプレート:Mvar が直交行列なら行列式の性質から

$\det (A{)}^2=\det (A)\det (A^{⊺})=\det (A{A}^{⊺})=\det (E)=1$

となる。逆は必ずしも真ではない。

• ユニタリ行列である。従って対角化可能である。
• テンプレート:Mvar 次行列 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar 個の列ベクトル（行ベクトル）$v_1,v_2,...,v_n$ を並べたものとみなしたとき、直交行列の定義 テンプレート:Mvar^{テンプレート:Mvar}=テンプレート:Mvar は $v_1,v_2,...,v_n$ が正規直交基底になる条件と同値である。
• テンプレート:Mvar 次の直交行列 テンプレート:Mvar 、テンプレート:Mvar 次の列ベクトル テンプレート:Mvar が与えられた時、ノルムを ‖•‖ で表せば、 ‖テンプレート:Mvar‖ = ‖テンプレート:Mvar‖ である。したがって テンプレート:Mvar の対応する作用素ノルムは テンプレート:Math である。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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• テンプレート:Citation
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関連項目

• 回転行列: 直交行列
• カルタン・デュドネの定理: 直交変換は超平面による鏡映の合成である
• 置換行列: 直交行列
• 特異値分解: あらゆる行列を直交行列と特異値による対角行列へ分解 A = UΣV^{テンプレート:Mvar}
• ユニタリ行列: エルミート内積に関して上と類似の性質を持つ行列
• QR分解: 正方行列から直交行列を作る手法

外部リンク

• テンプレート:Kotobank
• テンプレート:高校数学の美しい物語
• テンプレート:MathWorld

動画

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