行列の定値性

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テンプレート:混同 線型代数学における行列の定値性（ていちせい、テンプレート:Lang-en-short）は、その行列に付随する二次形式が一定の符号を持つか否か (二次形式の定値性) と密接な関係を持つ概念だが、付随する二次形式を経ることなくその行列自身の持つ性質によって特徴づけることもできる。

この概念は対称行列およびエルミート行列に対して定義するのが通例であるが、そうではない行列を含むように「定値性」の概念を一般化して適用する文献もある。

定義

正定値
テンプレート:Math 実対称行列 テンプレート:Mvar が正定値 テンプレート:En であるとは、テンプレート:Mvar 個の実数を成分に持つ零ベクトルでない任意の列ベクトル テンプレート:Mvar に対して、二次形式 テンプレート:Math が必ず正となるときに言う。ここに テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の転置行列を表す。
より一般に、テンプレート:Math エルミート行列 テンプレート:Mvar が正定値であるとは、任意の非零複素ベクトル テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Math が常に正の実数となるときに言う。ここに テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の共軛転置行列である。
負定値
テンプレート:Math エルミート行列 テンプレート:Mvar が負定値 テンプレート:En であるとは、テンプレート:Math の（実の場合は テンプレート:Math の）任意の非零ベクトル テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math が成り立つときに言う。
半正定値
テンプレート:Mvar が半正定値 テンプレート:En または非負定値 テンプレート:En であるとは、テンプレート:Math の（実の場合は テンプレート:Math の）任意の非零ベクトル テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math が成り立つときに言う。
半負定値
テンプレート:Mvar が半負定値 テンプレート:En または非正定値 テンプレート:En であるとは、テンプレート:Math の（実の場合は テンプレート:Math の）任意の非零ベクトル テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math が成り立つときに言う。
不定値
正定値、負定値、半正定値、半負定値の何れでもないエルミート行列は、不定値あるいは不定符号 テンプレート:En であると言う。

正定値行列は正定値対称双線型形式（複素の場合は対称半双線型形式）に、あるいはベクトル空間の内積に近しい関係を持つ[1]。

表記法

行列 テンプレート:Mvar の定値性を次の記号を用いて表現することがある。（ただし同様の記号で正行列や非負行列を表すこともあるテンプレート:Sfn。）

定値性の表記法
定値性 正定値 半正定値 負定値 半負定値
表記例 テンプレート:Math テンプレート:Math テンプレート:Math テンプレート:Math

性質

固有値との関係

実対称行列（またはエルミート行列）テンプレート:Mvar の定値性は固有値の符号と関係している。「すべての固有値の符号」がわかれば定値性がわかり、逆に定値性がわかれば「すべての固有値の符号」が正なのか負なのか正負混じっているのかなどが以下のようにわかる。[2]

  1. 行列 テンプレート:Mvar は正定値行列 ⇔ すべての固有値 テンプレート:Mvar が正値（テンプレート:Math）
  2. 行列 テンプレート:Mvar は半正定値行列 ⇔ すべての固有値 テンプレート:Mvar が非負値（テンプレート:Math）
  3. 行列 テンプレート:Mvar は負定値行列 ⇔ すべての固有値 テンプレート:Mvar が負値（テンプレート:Math）
  4. 行列 テンプレート:Mvar は半負定値行列 ⇔ すべての固有値 テンプレート:Mvar が非正値（テンプレート:Math）
  5. 行列 テンプレート:Mvar は不定値行列 ⇔ 少なくとも１つの正値の固有値 テンプレート:Mvar が存在し、かつ少なくとも１つの負値の固有値 テンプレート:Mvar が存在する

逆行列との関係

  1. 実対称行列（またはエルミート行列）テンプレート:Mvar が正定値ならば、行列 テンプレート:Mvar は正則で、逆行列 テンプレート:Math も正定値。
  2. 実対称行列（またはエルミート行列）テンプレート:Mvar が負定値ならば、行列 テンプレート:Mvar は正則で、逆行列 テンプレート:Math も負定値。

行列式との関係

  1. 実対称行列（またはエルミート行列）テンプレート:Mvar が正定値なら テンプレート:Math（行列式がすべての固有値の積であることから直ちに従う）

正定値行列の特徴

テンプレート:Math エルミート行列 テンプレート:Mvar に対して、以下の条件は何れも テンプレート:Mvar が正定値であることと同値である。 テンプレート:Bulleted list 同様の理由により、

  • エルミート行列が負定値、半負定値、半正定値となるための必要十分条件が、それぞれその固有値が全て負、非正、非負となることであることが分かる。また、不定値の場合には正負両方の固有値が現れることで特徴付けられる。
  • 小行列式の言葉で言えば、エルミート行列が負定値となる条件は、その テンプレート:Mvar-次の首座小行列式が、テンプレート:Mvar が奇数のとき負かつ テンプレート:Mvar が偶数のとき正となることである。また、半正定値となるための必要十分条件はその任意の主小行列式が非負となることである。ここで首座小行列式を考えただけでは不十分であることは、なんとなれば成分が 0 と −1 しかとらないような対角行列について確かめてみるとよい。
  • エルミート行列 テンプレート:Mvar が半正定値となる必要十分条件は、それが適当なベクトルからなる集合のグラム行列として得られることである。正定値の場合との違いは、これらのベクトルが必ずしも線型独立である必要が無いことである。
  • 任意の行列 テンプレート:Mvar に対して、行列 テンプレート:Math は必ず半正定値であり、かつ テンプレート:Math が成り立つ。

定義について

実の場合と複素の場合の定義の一貫性

任意の実行列は複素行列と見ることもできるから、その場合に両クラスに対する「正定値」の定義は一致しているべきである。

複素行列に対しては、「テンプレート:Mvar が正定値であるとは、任意の非零複素列ベクトル テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math が必ず正の実数となること」と述べる定義が最も一般的であり、この条件から テンプレート:Mvar がエルミートである（つまり自身の転置が自身の共軛に等しい）ことが導かれる。それを見るために、行列 テンプレート:Math および テンプレート:Math を考えると、テンプレート:Math かつ テンプレート:Math であり、行列 テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar はエルミートだから テンプレート:Math および テンプレート:Math はそれぞれが実数値である。ここで、 テンプレート:Math が実数となるならば テンプレート:Math は任意の テンプレート:Mvar に対して零とならねばならず、従て テンプレート:Mvar は零行列であり、テンプレート:Math がエルミートであることが示される。

この定義の下で、正定値実行列 テンプレート:Mvar はエルミート、したがって対称であり、また二次形式 テンプレート:Math は任意の非零実ベクトル テンプレート:Mvar に対して正となる。しかし、最後の「二次形式が常に正」という条件のみでは テンプレート:Mvar が正定値であるとするには十分ではない。たとえば、

M=[11−11]

とすると、任意の実ベクトル テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar が零でない限り常に正であるが、しかし複素ベクトル テンプレート:Math に対して テンプレート:Math は実数ではないから、従って テンプレート:Mvar は正定値ではない。

他方、対称実行列 テンプレート:Mvar に対してならば、条件「任意の非零実ベクトル テンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math」から複素行列の意味での テンプレート:Mvar の正定値性が導かれる。

非対称行列への拡張

幾つかの文献では、複素行列 テンプレート:Mvar が正定値であることを、任意の非零複素ベクトル テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math で定義しているものがある[3]。ただし、テンプレート:Math は複素数 テンプレート:Mvar の実部。この弱い条件での定義は非エルミートな複素行列の一部（これには [11−11] のような一部の非対称実行列も含む）も満たす。

実際にこの定義の下では、実行列が正定値であるための必要十分条件は任意の非零実ベクトル テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math となることであって、必ずしも テンプレート:Mvar の対称性は要求しない。

一般に、任意の非零複素ベクトル テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math となるための必要十分条件は、テンプレート:Mvar のエルミート成分 テンプレート:Math が狭い意味での正定値となることである。同様に、任意の非零実ベクトル テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math となるための必要十分条件は、テンプレート:Mvar の対称成分 テンプレート:Math が狭い意味での正定値となることである。

まとめると、実の場合と複素の場合とを分ける特徴は、複素ヒルベルト空間上の有界な正作用素はエルミートあるいは自己随伴でなければならないということである。この一般の主張は極化恒等式を用いて説明できる。このことは実の場合にはもはや正しくない。

関連項目

注記

テンプレート:Reflist

参考文献

外部リンク

テンプレート:線形代数

  1. ↑ Stewart, J. (1976). Positive definite functions and generalizations, an historical survey. Rocky Mountain J. Math, 6(3).
  2. ↑ テンプレート:Cite
  3. ↑ テンプレート:MathWorld Accessed on 2012-07-26
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