部分対象

圏論という数学の分野において，部分対象（ぶぶんたいしょう，テンプレート:Lang-en-short）は，大まかに言って，同じ圏の別の対象の中にいる対象である．この概念は，集合論における部分集合，群論における部分群，テンプレート:疑問点範囲などの概念の一般化である．対象の詳細な構造は圏論では重要でないから，部分対象の定義は，元を使わず，対象が別の対象の中にどのようにいるかを記述する射に依る．

部分対象の双対概念は商対象（しょうたいしょう，テンプレート:Lang-en-short）である．これは商集合，商群，商位相空間などの概念を一般化する．

定義

詳しくは，テンプレート:Mvar をある圏の対象とする．余域を テンプレート:Mvar とする2つの単射

テンプレート:Math

テンプレート:Math

が与えられたとき，テンプレート:Math とは，テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar テンプレート:仮リンクこととする，つまり，ある テンプレート:Math が存在して $u=v\circ w$ とする．次で定義される二項関係 テンプレート:Math:

テンプレート:Math ⇔ テンプレート:Math かつ テンプレート:Math

は余域を テンプレート:Mvar とする単射上の同値関係であり，これらの単射の対応する同値類は テンプレート:Mvar の部分対象 (subobject) である．2つの単射が テンプレート:Mvar の同じ部分対象を表すとき，それらの始域は同型である．テンプレート:Mvar を余域とする単射の集まりに関係 テンプレート:Math をいれたものは前順序をなすが，部分対象の定義は テンプレート:Mvar の部分対象の集まりが半順序であることを保証する．（ある対象の部分対象の集まりは実は真クラスかもしれない；なのでこの議論は少々不正確である．任意の対象の部分対象の集まりが集合であるとき，圏は well-powered である．）

商対象という双対概念を得るには，単射を全射に置き換え射の向きを逆にすればよい．

例

圏 テンプレート:Math において，テンプレート:Mvar の部分対象は テンプレート:Mvar の部分集合 テンプレート:Mvar に対応する，あるいは正確には，像がちょうど テンプレート:Mvar であるような テンプレート:Mvar に equipotent な集合からのすべての写像の集まりである．テンプレート:Math の集合の部分対象の半順序はちょうどその部分集合束である．類似の結果は テンプレート:Math やいくつかの他の圏でも成り立つ．

半順序クラス テンプレート:Math が与えられたとき，テンプレート:Math の元を対象とし，1つの対象（元）が別の対象以下のときに前者から後者にただ1つの射があるような圏を作れる．テンプレート:Math が最大元を持てば，この最大限の部分対象半順序は テンプレート:Math 自身である．理由の1つとしては，そのような圏の全ての射は単射であるからである．

終対象の部分対象はテンプレート:仮リンクと呼ばれる．

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク
• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Citation
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