単射的対象

数学，特に圏論において，単射的対象（たんしゃてきたいしょう，テンプレート:Lang-en-short, あるいは移入的対象，入射的対象）の概念は単射的加群の概念の一般化である．この概念はホモトピー論とモデル圏の理論において重要である．双対概念は射影的対象である．

定義

$ℭ$ を圏とし $ℋ$ を $ℭ$ の射のあるクラスとする．

$ℭ$ の対象テンプレート:Mvar が $ℋ$ -単射的とは， $ℋ$ の任意の射テンプレート:Math と任意の射テンプレート:Math に対して，ある射テンプレート:Math が存在してテンプレート:Mvar （の始域）を拡張する，すなわち $g \circ h = f$ となることをいう．

上の定義における射テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar によって一意的に決定されることは要求されない．

局所的に小さい圏では，それはhom関手 $H o m_{ℭ} (-, Q)$ が $ℋ$ -射を全射に送ることと同値である．

$ℋ$ の古典的な選択は単射全体のクラスであり，この場合，単射的対象という表現が使われる．

アーベル圏の場合が単射性の概念のもともとの枠組みであった（そして今でも最も重要なものである）． $ℭ$ がアーベル圏のとき， $ℭ$ の対象テンプレート:Mvar が単射的であるとは，hom関手テンプレート:Math が完全であることをいう．

0 \to A \to B \to C \to 0

を $ℭ$ における完全列であってテンプレート:Mvar が単射的対象であるものとする．すると列は分裂し，テンプレート:Mvar が単射的であることとテンプレート:Mvar が単射的であることは同値である^[1]．

$ℭ$ を圏とし，テンプレート:Mvar を $ℭ$ の射のあるクラスとする；圏 $ℭ$ が充分テンプレート:Mvar 単射的対象をもつ (have enough テンプレート:Mvar injectives) とは， $ℭ$ のすべての対象テンプレート:Mvar に対して，テンプレート:Mvar からあるテンプレート:Mvar-単射的対象へのあるテンプレート:Mvar 射が存在することをいう．

テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar 本質的テンプレート:Mvar 射であって，始域がテンプレート:Mvar, 余域がテンプレート:Mvar 単射的なテンプレート:Mvar であるとき，テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 単射的包絡 (テンプレート:Mvar-injective hull) と呼ばれる．するとこのテンプレート:Mvar 単射的包絡は，標準的でない同型の違いを除いて一意的である．

アーベル群と群準同型の圏において，単射的対象は可除群である．
加群と加群準同型の圏テンプレート:Math において，単射的対象は単射的加群である．テンプレート:Math は単射的包絡をもつ（したがってテンプレート:Math は充分単射的対象をもつ）．
距離空間とテンプレート:仮リンクの圏 [[距離空間の圏|テンプレート:Math]] において，単射的対象はテンプレート:仮リンクであり，距離空間の単射的包絡はそのテンプレート:仮リンクである．
[[T0空間|テンプレート:Math 空間]]と連続写像の圏において，単射的対象は必ず連続束上のスコット位相であり，したがってそれは必ずテンプレート:仮リンクかつ局所コンパクトである．
テンプレート:仮リンクの圏において，anodyne extensions のクラスに関する単射的対象はテンプレート:仮リンクである．
半順序集合と単調写像の圏において，完備束はテンプレート:仮リンクに対する単射的対象をなし，半順序集合のテンプレート:仮リンクはその単射的包絡である．
より一般の圏，例えば関手圏や，環付き空間テンプレート:Math 上の [[加群の層|テンプレート:Math 加群]]の層の圏においても単射的対象を考えることができる．