射影的対象

圏論において，射影的対象（しゃえいてきたいしょう，テンプレート:Lang-en-short）の概念は射影的加群の概念を一般化する．

Hom (P, -) : 𝒞 \to 𝐒 𝐞 𝐭

が全射を保つことをいう．つまり，任意の射 $f : P \to X$ は任意の全射テンプレート:Math を通して分解する．

$𝒞$ をアーベル圏とする．この文脈では，対象 $P \in 𝒞$ が射影的対象であるとは，

Hom (P, -) : 𝒞 \to 𝐀 𝐛

が完全関手であることをいう．ただし $𝐀 𝐛$ はアーベル群の圏である．

射影的対象の双対概念は単射的対象の概念である：アーベル圏 $𝒞$ の対象テンプレート:Mvar が単射的であるとは， $𝒞$ から $𝐀 𝐛$ への関手 $Hom (-, Q)$ が完全であることをいう．

充分射影的対象をもつ

$𝒜$ をアーベル圏とする． $𝒜$ が充分射影的対象をもつ（Have Enough Projectives）とは， $𝒜$ の任意の対象テンプレート:Mvar に対して， $𝒜$ の射影的対象テンプレート:Mvar と完全列

P ⟶ A ⟶ 0

が存在することをいう．言い換えると，射テンプレート:Math は全射である．

テンプレート:Mvar をテンプレート:Math をもつ環とする．左テンプレート:Mvar 加群の圏 $ℳ_{R}$ を考える． $ℳ_{R}$ はアーベル圏である． $ℳ_{R}$ における射影的対象はちょうど[[射影加群|射影左テンプレート:Mvar 加群]]である．なのでテンプレート:Mvar はそれ自身 $ℳ_{R}$ の射影的対象である．双対的に， $ℳ_{R}$ における単射的対象はちょうど[[単射加群|単射的左テンプレート:Mvar 加群]]である．

左（右）テンプレート:Mvar 加群の圏は充分射影的対象を持つ．なぜならば，任意の左（右）テンプレート:Mvar 加群テンプレート:Mvar に対して，テンプレート:Mvar としてテンプレート:Mvar の生成集合テンプレート:Mvar（テンプレート:Mvar でよい）によって生成される自由（したがって射影）テンプレート:Mvar 加群をとることができるからである．すると標準射影テンプレート:Math が所望の全射である．