関手圏
圏論という数学の分野において、与えられた2つの圏の間の関手たちは関手圏（かんしゅけん、テンプレート:Lang-en-short）と呼ばれる圏をなす。その対象は関手であり、射は関手の間の自然変換であるテンプレート:Sfn。関手圏は主に2つの理由によって興味が持たれる：
- よく現れる多くの圏は（暗に）関手圏であり、したがって一般の関手圏に対して証明された任意のステートメントは広く適用可能である；
- すべての圏は（米田埋め込みによって）関手圏に埋め込まれる；関手圏はもとの圏よりもよい性質をしばしば持っており、もとの設定では利用可能ではなかった操作ができる。
定義
テンプレート:Mvar を小さい圏とし（すなわち対象たちや射たちは真クラスではなく集合をなす）、テンプレート:Mvar を任意の圏とする。テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への関手全体のなす圏は、テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math などと書かれ、対象として テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への共変関手を持ち、射としてそのような関手の間の自然変換を持つ。自然変換は合成できることに注意：テンプレート:Math が関手 テンプレート:Math から関手 テンプレート:Math への自然変換で、テンプレート:Math が関手 テンプレート:Mvar から関手 テンプレート:Mvar への自然変換であるとき、集まり テンプレート:Math は テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への自然変換を定義する。自然変換のこの合成（垂直合成と呼ばれる；自然変換を参照）によって、テンプレート:Math は圏の公理を満たす。
全く同様に、テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への反変関手全体の圏を考えることもできる；これはテンプレート:Math と書かれる。
テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar がともに前加法圏（すなわち射の集合がアーベル群であり、射の合成が双線型）であれば、テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への加法的関手全体のなす圏を考えることができ、テンプレート:Math と書かれる。
例
- テンプレート:Mvar が小さい離散圏（すなわち射が恒等射のみ）のとき、テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への関手は本質的には テンプレート:Mvar で添え字付けられた テンプレート:Mvar の対象の族からなる；関手圏 テンプレート:Math は対応する積圏と同一視できる：元は テンプレート:Mvar の対象の族で、射は テンプレート:Mvar の射の族である。
- テンプレート:仮リンク テンプレート:Math 対象は テンプレート:Mvar の射で、射は テンプレート:Mvar の可換正方形）は単に テンプレート:Math である、ただし テンプレート:Mathbf は2つの対象を持ち恒等射と一方から他方への1つの射を持つ（逆向きの射は持たない）圏である。
- 有向グラフは矢印の集合と頂点の集合と、矢印の集合から頂点の集合への各矢印の始点と終点を決める2つの写像からなる。すべての有向グラフの圏はしたがって関手圏 テンプレート:Math に他ならない、ただし テンプレート:Mvar は2つの射で結ばれる2つの対象からなる圏であり、テンプレート:Math は集合の圏を表す。
- 任意の群 テンプレート:Mvar は対象が1つのすべての射が可逆な圏と考えることができる。すべての [[群作用|テンプレート:Mvar 集合]]の圏は関手圏 テンプレート:Math と同じである。
- 直前の例と同様に、群 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 線型表現の圏は関手圏 テンプレート:Math と同じである（ただし テンプレート:Math は体 テンプレート:Mvar 上のすべてのベクトル空間の圏を表す）。
- 任意の環 テンプレート:Mvar は対象が1つの前加法圏と考えることができる；テンプレート:Mvar 上の左加群の圏は加法的関手圏 テンプレート:Math と同じであり（ただし テンプレート:Mathbf はアーベル群の圏を表す）、右 テンプレート:Mvar 加群の圏は テンプレート:Math である。この例により、任意の前加法圏 テンプレート:Mvar に対して、圏 テンプレート:Math を「テンプレート:Mvar 上の左加群の圏」、テンプレート:Math を「テンプレート:Mvar 上の右加群の圏」と呼ぶことがある。
- 位相空間 テンプレート:Mvar 上の前層の圏は関手圏である：位相空間を対象が テンプレート:Mvar の開集合で、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar に含まれるとき、かつそのときに限り テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar へのただ1つの射があるような圏 テンプレート:Mvar と思う。すると テンプレート:Mvar 上の集合（あるいはアーベル群、環）の前層の圏は テンプレート:Mvar から テンプレート:Mathbf（あるいは テンプレート:Mathbf, テンプレート:Mathbf）への反変関手の圏と同じである。この例により、圏 テンプレート:Math は、位相空間から生じない一般の圏 テンプレート:Mvar に対してさえも、「テンプレート:Mvar 上の集合のテンプレート:仮リンク」と呼ばれることがある。一般の圏 テンプレート:Mvar 上の層を定義するには、さらなる構造が必要である、すなわち テンプレート:Mvar 上のグロタンディーク位相である。（テンプレート:Math に同値な圏を“前層圏”と呼ぶ著者もいる[1]。）
事実
テンプレート:Mvar において実行できるほとんどの構成は、「成分ごと」に、テンプレート:Mvar の各対象に対してバラバラに実行することで、テンプレート:Math においても実行できる。例えば、テンプレート:Mvar の任意の2つの対象 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が積 テンプレート:Math を持つとき、テンプレート:Math の任意の2つの関手 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は次で定義される積 テンプレート:Math を持つ：テンプレート:Mvar の任意の対象 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math 同様に、テンプレート:Math が自然変換で各 テンプレート:Math が圏 テンプレート:Mvar において核 テンプレート:Math をもつとき、関手圏 テンプレート:Math における テンプレート:Mvar の核は、テンプレート:Mvar のすべての テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math なる関手 テンプレート:Mvar である。
結果として、関手圏 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar のほとんどの「よい」性質を共有するという一般的 テンプレート:仮リンク がある：
- テンプレート:Mvar が完備（あるいは余完備）ならば テンプレート:Mvar もそうである。；
- テンプレート:Mvar がアーベル圏ならば テンプレート:Mvar もそうである；
また次も成り立つ：
- テンプレート:Mvar が任意の小さい圏ならば、テンプレート:仮リンクの圏 テンプレート:Math はトポスである。
なので上の例から、有向グラフ、テンプレート:Mvar 集合、位相空間上の前層の圏はすべて完備かつ余完備なトポスで、テンプレート:Mvar の表現、環 テンプレート:Mvar 上の加群、位相空間 テンプレート:Mvar 上のアーベル群の前層の圏はすべてアーベル、完備、余完備であることがただちに結論付けられる。
先に述べた圏 テンプレート:Mvar の関手圏への埋め込みは主な道具として米田の補題を用いる。テンプレート:Mvar の任意の対象 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Math を テンプレート:Mvar から テンプレート:Mathbf への反変表現可能関手とする。米田の補題は割り当て
が圏 テンプレート:Mvar の圏 テンプレート:Math への充満埋め込みであると言っている。したがって テンプレート:Mvar は自然にトポスの中にいる。
同じことは任意の前加法圏 テンプレート:Mvar に対して実行できる：すると米田は テンプレート:Mvar の関手圏 テンプレート:Math への充満埋め込みを生む。したがって テンプレート:Mvar は自然にアーベル圏の中にいる。
上でのべた直感（テンプレート:Mvar で実行できる構成は テンプレート:Mvar に「持ち上げる」ことができること）はいくつかの方法で正確にできる；もっとも簡潔な定式化は随伴関手のことばを用いる。すべての関手 テンプレート:Math は（テンプレート:Mvar との合成により）関手 テンプレート:Math を誘導する。テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が随伴関手の対であるとき、テンプレート:Math と テンプレート:Math もまた随伴関手の対である。
関手圏 テンプレート:Math は指数対象のすべての形式的な性質を有する；特に関手たち テンプレート:Math は テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への関手たちと自然な1対1対応にある。関手が射であるすべての小さい圏の圏 テンプレート:Mathbf はしたがってデカルト閉圏である。