群の表現

数学において、群の表現（ぐんのひょうげん、テンプレート:Lang-en-short）とは、抽象的な群 テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar に対して具体的な線形空間 テンプレート:Mvar の正則な線形変換としての実現を与える準同型写像 テンプレート:Math のことである。線型空間 テンプレート:Mvar の基底を取ることにより、テンプレート:Math をより具体的な正則行列として表すことができる。

定義

群の表現

群 テンプレート:Mvar の各元 テンプレート:Mvar に対して線形空間 テンプレート:Mvar 上の線形変換 テンプレート:Math が対応し、

$T(gh)=T(g)T(h)$

が成り立つとき、テンプレート:Mvar を テンプレート:Math に対応させる写像 テンプレート:Math を群 テンプレート:Mvar の線形空間 テンプレート:Mvar 上の表現といい、線形空間 テンプレート:Mvar を群 テンプレート:Mvar の表現空間という。すなわち群 テンプレート:Mvar の表現とは「群 テンプレート:Mvar から線形空間 テンプレート:Mvar 上の正則な線形変換のつくる群への準同型写像」のことである。

テンプレート:Math に対して テンプレート:Math のことを単に テンプレート:Math あるいは テンプレート:Mvar と表すことが多い。

表現空間は群上の加群と見ることもできる。このとき表現空間は群環 テンプレート:Math 上表現加群と呼ばれ、このことを強調するために テンプレート:Math と表すこともある。

表現行列

表現空間を明示したいときは組 テンプレート:Math で表現を表す。表現空間 テンプレート:Mvar の次元 テンプレート:Mvar を表現の次元という。表現空間 テンプレート:Mvar に適当な基底を導入すれば、テンプレート:Math は具体的に テンプレート:Mvar 次正方行列で書き表せるから、群 テンプレート:Mvar の表現とは「テンプレート:Mvarから正則行列の成す群 [[一般線型群|テンプレート:Math]] への準同型写像である」といってもよい。このとき行列 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の表現行列と呼ぶ。

つまり群 テンプレート:Mvar に対応して行列の集合 $\mathrm{\Gamma }=\{T(g)\mid g\in G\}$ があり、任意の群の元 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math が成り立つとき、これらの行列を群 テンプレート:Mvar の表現行列という。

同値な表現

群 テンプレート:Mvar の2つの表現 テンプレート:Math と テンプレート:Math が与えられたとき、ある線型同型 テンプレート:Math が存在して、すべての元 テンプレート:Mvar に対して相似変換

$S{T}_1(g)S^{-1}=T_2(g)$

で繋がるならば、表現 テンプレート:Math と テンプレート:Math は同値あるいは同型であるといい、両者は本質的には同じ表現である。この条件はすべての元 テンプレート:Mvar に対して次の図式が可換であるといってもよい。

$\begin{array}{ccc}V& \stackrel{T_1(g)}{⟶}& V\\ S\downarrow & & \downarrow S\\ W& \stackrel{T_2(g)}{⟶}& W\end{array}$

なお、一般に、全単射とは限らないこのような変換をテンプレート:仮リンクという。

特別な表現

恒等表現・忠実表現

テンプレート:Main 対応 テンプレート:Math は一般には単射であるとは限らない。たとえば、すべての元 テンプレート:Mvar に恒等変換を対応させるものも表現であって、これは恒等表現あるいはテンプレート:仮リンクと呼ばれる。一方、対応 テンプレート:Math が単射のときはその表現は忠実な表現であるという。

既約表現

テンプレート:Main $\{T(g)\mid g\in G\}$ で不変な表現空間 テンプレート:Mvar の部分空間が テンプレート:Mvarと テンプレート:Math のふたつ以外に存在しないとき、表現 テンプレート:Math は既約であるという。既約でない表現を可約という。特に表現空間をいくつかの既約な不変部分空間の直和に分解できる場合、その表現を完全可約であるという。マシュケの定理より複素数体上における有限群の有限次元表現は常に完全可約である。既約表現に対して次の重要な補題が成り立つ：

シューアの補題

テンプレート:Mvar を群 テンプレート:Mvar の代数的閉体上における有限次元既約表現とすると、すべての テンプレート:Math と可換な変換は恒等変換の定数倍に限られる。

また適当な相似変換によってブロック対角型になる（簡約できる）表現を直可約表現、直可約でない表現を直既約表現という。

有限群の同値でない複素数体上の有限次元既約表現の数は、群の共役類の数と等しい。

ユニタリ表現

テンプレート:Main すべての テンプレート:Math がユニタリ変換であるような表現をユニタリ表現と呼ぶ（直交変換はユニタリ変換の特別な場合であるから、直交変換による表現もユニタリ表現である）。

誘導表現

テンプレート:Main 有限群 テンプレート:Mvar の部分群 テンプレート:Mvar を取り、剰余類分解の完全代表系 テンプレート:Math をひとつ固定する。

$G=t_{1}H⨿\cdots ⨿t_{m}H.$

体 テンプレート:Mvar 上の表現 テンプレート:Math のテンプレート:仮リンク テンプレート:Math とは次で定義される群 テンプレート:Mvar の表現のことである。

$T(g)={\left[\begin{array}{c}T(t_i^{-1}g{t}_j)\end{array}\right]}_{1\le i,j\le m}$

ただし $x\in ̸H$ のときは テンプレート:Math とする。誘導表現は剰余類分解の代表系の取り方に依存しない。

誘導表現 テンプレート:Math の次数は表現 テンプレート:Mvar の次数の [[部分群の指数|テンプレート:Math]] 倍である。また自明な部分群の自明な表現の誘導表現は群 テンプレート:Mvar の正則表現を与える。

部分群 テンプレート:Mvar の表現加群を テンプレート:Mvar としたとき誘導表現から定まる群 テンプレート:Mvar の表現加群のことを誘導加群といい、テンプレート:Math, テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math で表す。代数のテンソル積を使って テンプレート:Math と定義しても同型な表現加群が定義できる。

具体例

3次対称群 テンプレート:Math の複素数体 テンプレート:Math 上の有限次元な既約表現は同値なものを除くと次で定まる準同型写像 テンプレート:Math の3つである。

• 1次元の自明表現 テンプレート:Math

(1, 2)(3) ↦ [1], (1, 2, 3) ↦ [1]

• 符号表現 テンプレート:Math

(1, 2)(3) ↦ [−1], (1, 2, 3) ↦ [1]

• テンプレート:Math

(1, 2)(3) ↦ $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$, (1, 2, 3) ↦ $\left[\begin{array}{cc}{e}^{2\pi i/3}& 0\\ 0& e^{-2\pi i/3}\end{array}\right]$

基本的な定理

Frobenius相互律

有限群 テンプレート:Mvar の部分群 テンプレート:Mvar を取る。群 テンプレート:Mvar の表現 テンプレート:Math に対し、部分群 テンプレート:Mvar への制限表現 テンプレート:Math を テンプレート:Math で定める。またこの制限表現から定まる部分群 テンプレート:Mvar の表現加群のことを制限加群といい、テンプレート:Math, テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math で表す。このとき線型空間としての同型

${\mathrm{Hom}}_{FH}(U,V_H)\cong {\mathrm{Hom}}_{FG}(U^G,V),f\mapsto (\sum _{t\in G/H}u\otimes t\mapsto \sum _{t\in G/H}f(u)t)$

${\mathrm{Hom}}_{FH}(V_H,U)\cong {\mathrm{Hom}}_{FG}(V,U^G),f\mapsto (v\mapsto \sum _{t\in G/H}f(v{t}^{-1})\otimes t))$

が成り立つテンプレート:Sfn。これをFrobenius相互律 (Frobenius reciprocity) という。

Mackeyの分解定理

有限群 テンプレート:Mvar の部分群 テンプレート:Math を取り、その両側剰余類分解を

$G=\coprod _{t\in H\mathrm{\setminus }G/K}HtK$

とする。このとき テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar について テンプレート:Mvar 加群として次の同型が成り立つテンプレート:Sfn。

$(W^G{)}_K\cong \underset{t\in H\mathrm{\setminus }G/K}{⨁}(W_{H^t\cap K}^t{)}^K$

ここで テンプレート:Math は テンプレート:Math 加群で、線形空間としては テンプレート:Mvar と同型であり、テンプレート:Math の元を（形式的に）テンプレート:Math と表したとき、その作用は テンプレート:Math で定める。この テンプレート:Math 加群 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の共役加群と呼ばれることがある。

Cliffordの定理

有限群 テンプレート:Mvar の正規部分群 テンプレート:Mvar を取る。このとき テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar に対して

$T=\{t\in G\mid W^t\cong W\}$

を テンプレート:Mvar の惰性群（inertia group）という。

既約 テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar とその制限 テンプレート:Math の既約部分 テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar に対して、分岐指数（ramification index）と呼ばれる自然数 テンプレート:Mvar が存在して、次の テンプレート:Mvar 加群としての同型が成り立つテンプレート:Sfn。

$V_N\cong e\underset{t\in G/T}{⨁}{W}^t$

量子力学における群の表現

量子力学におけるハミルトニアン $\hat{H}$ が、ある変換群 テンプレート:Mvar で不変であるとすると、1つのエネルギー固有値 テンプレート:Mvar に属するハミルトニアン $\hat{H}$ の固有空間は群 テンプレート:Mvar のユニタリ表現の表現空間になっている。したがって群 テンプレート:Mvar の既約なユニタリ表現を知ることで、ハミルトニアン $\hat{H}$ の固有状態を分類することができる。これが原子や分子の状態や素粒子の分類に群論が有力な道具となる理由である。

参考文献

• Jean-Pierre Serre: Linear Representations of Finite Groups, Springer (GTM,vol.42), 978-1-4684-9458-7 (1977).
• Jin-Quan Chen: Group Representation Theory for Physicists, World Scientific (1989)
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• Walter Ledermann: Introduction to group characters, 2nd Ed., Cambridge University Press, ISBN 0-521-33781-X (1987). ※ 有限群の指標は表現行列の対角和である。

和書：

• 『物理学辞典』 培風館、1984年.
• 山内恭彦：「回転群とその表現」、岩波書店（1957年).
• 服部昭：「群とその表現」、共立出版（共立数学講座18）(1967年11月1日).
• 横田一郎：「群と表現」、裳華房、ISBN 4-7853-1110-X (1973年5月).　※ 復刊版2001年8月
• J.-P.セール(著)、岩堀長慶、横沼健雄(共訳)：「有限群の線型表現」、岩波書店（1974年3月4日）.
• 島和久：「連続群とその表現」、岩波書店 (1981年4月24日).
• 永尾汎、津島行男：「有限群の表現」、裳華房、ISBN 4-7853-1310-2 (1987年8月15日).　※ 復刊版2001年9月 ※ 程度はかなり高い。
• 吉川圭二：「群と表現」、岩波書店、ISBN 4-00-007979-4 (1996年10月18日).
• 平井武：「線型代数と群の表現 I」、朝倉書店、ISBN 4-254-11496-6 (2001年11月20日).
• 平井武：「線型代数と群の表現 II」、朝倉書店、ISBN 4-254-11497-4 (2001年11月20日).
• 岡田聡一：「古典群の表現論と組合せ論　上」、培風館、ISBN 4-563-00663-7 (2006年3月30日).
• 岡田聡一：「古典群の表現論と組合せ論　下」、培風館、ISBN 4-563-00664-5 (2006年3月30日).
• 高瀬幸一：「群の表現論序説」、岩波書店、ISBN 978-4-00-005271-9（2013年5月30日).

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• 位相群の表現
• リー群の表現
• 指標表

外部リンク

• テンプレート:Cite web
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