群環

代数学において、与えられた群および環に対する群環（ぐんかん、テンプレート:Lang-en-short）は、与えられた群と環の構造を自然に用いて構成される。群環はそれ自身が、与えられた環を係数環とし与えられた群を生成系とする自由加群であって、なおかつ与えられた群の演算を生成元の間の演算として「線型に」延長したものを積とする環を成す。俗に言えば、群環は与えられた群の与えられた環の元を「重み」とする形式和の全体である。与えられた環が可換であるとき、群環は与えられた環上の多元環（代数）の構造を持ち、群多元環（ぐんたげんかん、テンプレート:Lang-en-short; 群代数）（あるいは短く群環）と呼ばれる。

群環は、特に有限群の表現論において重要な役割を果たす代数的構造である。無限群の群環はしばしば位相を加味した議論を必要とするため位相群の群環の項へ譲り、本項は主に有限群の群環を扱う。また、より一般の議論は群ホップ代数を見よ。

定義

テンプレート:Seealso テンプレート:Mvar を環、テンプレート:Mvar を群 とする。

テンプレート:Math の各元 テンプレート:Mvar に対して、一点集合 テンプレート:Math の テンプレート:Mvar-値指示函数（ディラックのデルタ函数）

${\delta }_g(h):=\{\begin{array}{cc}1=1_R& (h=g)\\ 0=0_R& (h\ne g)\end{array}$

を考えるとき、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の標準基底として テンプレート:Math を持ち、

$R[G]\to C_c(G;R);\sum _{g\in G}{a}_{g}g\mapsto \sum _{g\in G}{a}_g{\delta }_g$

は多元環の同型である。しばしばここでいう テンプレート:Math を（1. の場合と同じく） テンプレート:Math などとも書き、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 上の群環と呼ぶテンプレート:Sfn。

テンプレート:Mvar が有限群ならば、この テンプレート:Math は テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像全体の成す空間 テンプレート:Math に他ならない。これは無限群の場合には一般には成り立たないが、それでも以下に示すような意味で群環 テンプレート:Math と写像空間 テンプレート:Math は互いに双対の関係にある：

群環の元

$x=\sum _{g\in G}{a}_{g}g$

と テンプレート:Mvar-値写像 テンプレート:Math の対に対して、内積

$(x,f)=\sum _{g\in G}{a}_{g}f(g)\in R$

が矛盾なく定まる（右辺が実質有限和であることに注意せよ）。

例

位数 3 の巡回群 テンプレート:Math を取り、テンプレート:Math とおく。 このとき

$\begin{array}{cc}{e}_1& =\frac{1}{3}(1+g+g^2)\\ e_2& =\frac{1}{3}(1+\omega g+{\omega }^2{g}^2)\\ e_3& =\frac{1}{3}(1+{\omega }^{2}g+\omega g)\end{array}$

と群環 テンプレート:Math の元を定めると、これらは中心的直交原始冪等元分解 テンプレート:Math を与え、次の直既約分解と同型が得られる。

$ℂG=e_1ℂG\oplus e_2ℂG\oplus e_3ℂG\cong \left(\begin{array}{ccc}ℂ& 0& 0\\ 0& ℂ& 0\\ 0& 0& ℂ\end{array}\right)$

群環上の加群

テンプレート:Main 環 テンプレート:Mvar 上の群環 テンプレート:Math を環と見るとき、[[環上の加群|環 テンプレート:Math 上の加群]]は、[[群上の加群|群 テンプレート:Mvar 上の加群]]と呼ばれる。[[群の表現|群 テンプレート:Mvar の表現]]は テンプレート:Mvar-加群の言葉で読みかえることができる。特に

• 単純 テンプレート:Mvar-加群は テンプレート:Mvar-既約表現のことである。
• テンプレート:Mvar の表現空間が テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Math であるとき、表現の間の準同型は、テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Math の間の テンプレート:Mvar-線型準同型のことであり、その全体は テンプレート:Math などで表される。

古典的な結果として、もともとは係数環 テンプレート:Mvar が複素数体 テンプレート:Math で、群 テンプレート:Mvar が有限群の場合に得られたものだが、そのような条件のもとで群環 テンプレート:Math が半単純環となることを示すことができて、それは有限群の表現において深い意味を持つ事実である。より一般に、マシュケの定理と呼ばれる以下の定理が成り立つ：

定理 (Maschke)

有限群 テンプレート:Mvar の位数が体 テンプレート:Mvar の標数と互いに素なとき、あるいは標数 テンプレート:Math のとき、群環 テンプレート:Mvar は半単純である。

特に、群環 テンプレート:Math が半単純であることは、それが テンプレート:Math に成分をとる行列環の直和として理解することができることを意味する。

テンプレート:Mvar が有限アーベル群ならば、群環は可換環であり、その構造は[[1の冪根| テンプレート:Math の冪根]]を用いて容易に記述することができる。係数環 テンプレート:Mvar が標数 テンプレート:Mvar の体で、その素数 テンプレート:Mvar が有限群 テンプレート:Mvar の位数を割るならば、群環は半単純でなく非自明なジャコブソン根基を持つ。このことは、そのような条件下でのモジュラー表現論における対応する主題において重要な意味を示す。

性質

基本性質

環 テンプレート:Mvar が乗法単位元 テンプレート:Math を持つとき（群 テンプレート:Mvar の単位元は テンプレート:Math と書くことにする）、群環 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar に環同型な部分環を持ち、またその単元群は テンプレート:Mvar に群同型な部分群を含む。実際、

$R\to R[G];r\mapsto r\cdot 1_G(\text{or }r\mapsto r{\delta }_{1_G})$

は単射環準同型であり、同様に

$G\to (R[G]{)}^{\times };g\mapsto 1_R\cdot g(\text{or }g\mapsto {\delta }_g)$

は乗法群に関する単射群準同型になる。特に、テンプレート:Math は テンプレート:Math の乗法単位元である。

• テンプレート:Mvar が可換環であり、かつ テンプレート:Mvar がアーベル群であるとき、群環 テンプレート:Math は可換多元環である。
• テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の部分群ならば、群環 テンプレート:Math は テンプレート:Math の部分環である。同様に、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の部分環であるとき、群環 テンプレート:Math は テンプレート:Math の部分環である。

群環の中心

テンプレート:Seealso 環 テンプレート:Math の積の定義の仕方から、その環としての中心は テンプレート:Mvar 上で定義されたテンプレート:Mvar-値類函数（つまり、テンプレート:Mvar の各共軛類上で定数となる函数）の全体に一致する。これは配置集合 テンプレート:Math の部分線型空間で、各共軛類 テンプレート:Math の指示函数の族 テンプレート:Math を標準基底に持つ（これらの指示函数は テンプレート:Math の標準基底によってテンプレート:Math と分解できる）。

また、テンプレート:Mvar 上の非退化な対称双線型形式（内積）を

$(f\mid h)=\frac{1}{g}\sum _{s\in G}f(s)h(s^{-1})$

で定義することができる。

• 既約指標の全体はこの類函数の空間の正規直交基底を成す

これにより、（この部分空間の次元を考えて）

• 既約表現の（同型類の）総数は、群の共軛類の数 テンプレート:Mvar に等しい

ゆえに、群 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 上の既約表現 テンプレート:Math が（同型を除いて）存在して、それらの指標 テンプレート:Math が群環 テンプレート:Math の中心の基底を成す。

アルティン–ウェダーバーンの定理

前節の記号を引き続き用いて以下の基本的な定理が直接的に示せる。

• 群環 テンプレート:Math は群 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-個の既約表現 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-自己準同型環 テンプレート:Math の直和に同型である:
  $K[G]\simeq \underset{i=1}{\overset{h}{⨁}}{\mathrm{End}}_K(S_i).$
  さらに テンプレート:Mvar が代数閉体と仮定すれば、有限次元半単純環に関するアルティン・ウェダーバーンの定理から同じ結果が得られる。
• 群環 テンプレート:Math は テンプレート:Math の部分空間であるから、各テンプレート:Math の次元を テンプレート:Math とすれば、群環自身の次元は
  $g=\sum _{i=1}^h{d}_i^2$
  で与えられる（テンプレート:Mvar が正標数の場合はfr:Représentation régulière#Identités remarquablesを見よ）。
• テンプレート:Math の元 テンプレート:Mvar が中心に属するための必要十分条件は、その成分が テンプレート:Math 上の相似拡大 (homothety) となることである。さらに類函数に関する結果を用いれば、その テンプレート:Math における相似比 テンプレート:Math が
  ${\lambda }_i=\frac{1}{d_i}\sum _{s\in G}f(s){\chi }_i(s)$
  で与えられる。

正則表現

テンプレート:Main 群 テンプレート:Mvar の正則表現 テンプレート:Mvar は、既に述べた対応により自然に群環 テンプレート:Mvar 上の左 テンプレート:Math-加群の構造に対応する。前節で述べた群環の分解に従えば:

• テンプレート:Mvar の正則表現は テンプレート:Mvar の既約表現 テンプレート:Mvar をその次数 テンプレート:Mvar と同じ数だけ重複したものの直和
  $(K^G,\lambda )\simeq \underset{i=1}{\overset{h}{⨁}}{d}_i(S_i,{\rho }_i)$
  に分解される。即ち、この テンプレート:Mvar に付随する半単純加群のテンプレート:仮リンクは
  $d_i(S_i,{\rho }_i)=\underset{d_i\text{ summand }}{\underbrace{(S_i,{\rho }_i)\oplus \cdots \oplus (S_i,{\rho }_i)}}(d_i=\dim (S_i))$
  で与えられる。

指標の直交関係

表現の指標と群環は、直交性を考えるとき、互いに相補的な関係にある。テンプレート:Mvar の表現 テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math をそれぞれ表現 テンプレート:Math の指標とするとき、表現 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar-加群と見て

$({\chi }_1\mid {\chi }_2)={\dim }_K({\mathrm{hom}}_K^G(V_1,V_2))$

が成り立つ。右辺の次元は テンプレート:Mvar 上で考える。

すると、シューアの補題により、既約指標 テンプレート:Math の間の直交関係

$({\pi }_1\mid {\pi }_2)=\{\begin{array}{cc}1& {\pi }_1\simeq {\pi }_2\\ 0& {\pi }_1\simeq ̸{\pi }_2\end{array}$

が得られる。

応用

フロベニウス相互律

テンプレート:Main 群環の構造を用いるよい例としてフロベニウス相互律を挙げられる。これは テンプレート:Mvar-加群のテンプレート:仮リンクを構成する方法とも理解される。有限群 テンプレート:Mvar の部分群 テンプレート:Mvar と テンプレート:Math-加群 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar から誘導される テンプレート:Mvar-加群とは

$V\simeq K[G]{\otimes }_{K[H]}W$

のことを言う（テンプレート:Math は テンプレート:Math-加群としてのテンソル積である）。この誘導表現は、テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Mvar の（環 テンプレート:Math から テンプレート:Math への）テンプレート:仮リンクに対応する。テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の正規部分群のときは、この誘導表現は テンプレート:Mvar による半直積に同値である。

フロベニウス相互律は、誘導表現の指標に関する内積を計算するための便法を与える。テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の表現 テンプレート:Mvar としての テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Mvar の指標とし、テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の表現 テンプレート:Mvar の指標とする。テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar への誘導表現の指標を テンプレート:Math、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar への制限の指標を テンプレート:Math とすれば、フロベニウス相互律とは

$⟨{\mathrm{Ind}}_H^G\psi \mid \chi {⟩}_G=⟨\psi \mid {\mathrm{Res}}_H^G\chi {⟩}_H$

なる関係が成り立つことを主張するものである。これはそれぞれの付随する テンプレート:Mvar-多元環準同型の空間の同型 テンプレート:Math を構成することで（次元を見れば）示される。

代数的整数

• テンプレート:Math の標準基底に関する座標成分が全てテンプレート:Math 上で整ならば、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math 上整である。

実際に標準基底としての テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Math は テンプレート:Math 上整であり、これらの生成する[[有限生成加群|有限生成 テンプレート:Math-加群]]は実際には[[環上の多元環| テンプレート:Math-多元環]]を成す。

前節からの記号を引き続き使用して、以下が成り立つ:

• テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の中心に属する元で、その座標成分が テンプレート:Math 上整ならば以下の テンプレート:Mvar の元
  ${\lambda }_i=\frac{1}{d_i}\sum _{s\in G}{u}_s{\chi }_i(s)$
  もまた テンプレート:Math 上整である。

実際、上記の節によれば、この数は テンプレート:Math 上での相似比 テンプレート:Math である。先に掲げた命題によりこの相似比は テンプレート:Math 上の整元であり、相似拡大の結合は多元環の準同型となるから、もとの数もそうである。

テンプレート:Mvar が標数 テンプレート:Math ならば以下の性質が導かれる:

• 既約表現の次数 テンプレート:Mvar は群の位数 テンプレート:Mvar を割り切る。

可換群上の調和解析

テンプレート:Main 有限群 テンプレート:Mvar がアーベル群ならば、その双対群もまた有限で テンプレート:Mvar に（自然でない）同型である。故に（複素係数）群環上の調和解析の道具は有効で、フーリエ変換や畳み込みを定義し、パーシヴァルの等式、プランシュレルの定理、ポントリャーギン双対性などの定理を適用することができる。

多くの古典的な定理を有限可換群上の調和解析の言葉で解釈しなおすことができる。それらの中には、平方剰余の相互法則を示すのに使うルジャンドル記号やガウス和、円分多項式の求根に用いるガウス周期など数論的な道具も含まれる。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. VIII
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Hall1
• テンプレート:Lang1
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Serre2

関連項目

• モノイド代数
• フロベニウス代数

外部リンク

• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:Nlab