群ホップ代数

テンプレート:Refimprove 数学における群ホップ代数（ぐんホップだいすう、テンプレート:Lang-en-short）は、与えられた群とその群作用の対称性に関連する、ある種の構成を言う。群ホップ代数の変形理論は量子群論において基礎を成す。

定義

Δ (x) = x \otimes x;

ϵ (x) = 1_{k};

S (x) = x^{- 1} .

を線型に拡張することによって定義すればよい^[1]。

この群ホップ代数テンプレート:Mvar がホップ代数となるために必要な公理系を満たすことを確かめるのは容易である。このとき、テンプレート:Mvar の群的元（すなわちテンプレート:Math であってテンプレート:Math かつテンプレート:Math となるもの）の全体テンプレート:Math がちょうどテンプレート:Mvar に一致することに注意せよ。

α_{g}^{*} (f) x = f (α (g, x)) (\forall x \in X)

で定義される。これにより、テンプレート:Math と書けば、線型写像

λ : k G \otimes F (X) \to F (X);

λ ((c_{1} g_{1} + c_{2} g_{2} + \dots) \otimes f) (x) = c_{1} f (g_{1} \cdot x) + c_{2} f (g_{2} \cdot x) + \dots (c_{i} \in k, g_{i} \in G)

が定まり、これはテンプレート:Mvar の群的元がテンプレート:Math の自己同型を生じるという性質を持つ。

テンプレート:Mvar を備えたテンプレート:Math は以下に述べるような重要な追加の構造を持つ。まず、いくつか言葉を用意する:

ホップ加群代数: テンプレート:Mvar をホップ代数とする。（左）ホップテンプレート:Mvar-加群代数 テンプレート:Mvar とは、それ自身線型環であって、かつ線型環テンプレート:Mvar 上の（左）加群の構造を持ち、さらにテンプレート:Math および $h \cdot (a b) = (h_{(1)} \cdot a) (h_{(2)} \cdot b) (\forall a, b \in A, h \in H)$ を満たすものを言う。ただし、テンプレート:Math は和の記号テンプレート:Sum を省略したテンプレート:Ill2である。
ホップスマッシュ積: ホップ代数テンプレート:Mvar と左ホップテンプレート:Mvar-加群代数に対し、それらのスマッシュ積代数テンプレート:Math とは、テンソル積線型空間テンプレート:Math に積を $(a \otimes h) (b \otimes k) : = a (h_{(1)} \cdot b) \otimes h_{(2)} k$ から定義したもので、この文脈ではテンプレート:Math ではなくてテンプレート:Math と書く^[2]。ホップスマッシュ積の巡回ホモロジーはすでに計算されている^[3]。スマッシュ積テンプレート:Math のことを接合積^[4]（接合積ホップ代数）テンプレート:Math とも呼ぶテンプレート:Efn。^[5]

上で定義したテンプレート:Mvar により明らかにテンプレート:Math は左ホップテンプレート:Mvar-加群代数となる。特にテンプレート:Math およびテンプレート:Math に対するスマッシュ積代数テンプレート:Math（簡単にテンプレート:Math とも書かれる）も定義できて、この場合のスマッシュ積は

(a # g_{1}) (b # g_{2}) = a (g_{1} \cdot b) # g_{1} g_{2}

のように書ける。

↑ テンプレート:Cite book
↑ テンプレート:Cite book
↑ R. Akbarpour and M. Khalkhali (2003) Hopf Algebra Equivariant Cyclic Homology and Cyclic Homology of Crossed Product Algebras. arXiv:math/0011248v6 [math.KT]. J. reine angew. Math. 559 137–152.
↑ テンプレート:Nlab
↑ Gracia-Bondia, J. et al. Elements of Noncommutative Geometry. Birkhäuser: Boston, 2001. テンプレート:ISBN2.