代数のテンソル積
数学において、二つの [[環上の多元環|テンプレート:Mvar-代数]]（多元環）のテンソル積には再び テンプレート:Mvar-代数の構造を入れることができ、代数のテンソル積 (tensor product of algebras) あるいはテンソル積多元環と呼ばれる対象が得られる。任意の環は テンプレート:Mathbf-代数と見ることができるから、テンプレート:Math と取った特別の場合として環のテンソル積 (tensor product of rings) が定まるテンプレート:Sfnp。
定義
テンプレート:Mvar を可換環とし テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar を [[環上の多元環|テンプレート:Mvar-代数]]とする。テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar はどちらも [[環上の加群|テンプレート:Mvar-加群]]と見なせるから、それらのテンソル積
を作れて、これは再び テンプレート:Mvar-加群である。このテンソル積に次のように積を定義して代数の構造を与えることができるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。すなわち、生成系となる テンプレート:Math の形の単純テンソルの間の積を
と定義し、これを線型性により テンプレート:Math の全体に拡張する。この積は テンプレート:Mvar-双線型かつ結合的で、テンプレート:Math によって与えられる単位元を持つテンプレート:Sfnことが容易にわかる。ここで テンプレート:Math と テンプレート:Math はそれぞれ テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の単位元である。テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar がともに可換であればそのテンソル積も可換である。
このテンソル積により[[多元環の圏|すべての テンプレート:Mvar-代数の圏]] テンプレート:Mvar-テンプレート:Mathbf はテンプレート:仮リンクになる。
基本的な例
テンプレート:Mvar を可換環、テンプレート:Mvar を正の整数、テンプレート:Mvar を群とする。
- 多項式環のテンソル積：テンプレート:Math.
- テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の最大公約数を テンプレート:Mvar とするとき テンプレート:Math.
- 全行列環のテンソル積：テンプレート:Math.
- 群環のテンソル積：テンプレート:Math.
さらなる性質
テンプレート:Mvar や テンプレート:Mvar から テンプレート:Math への次で与えられる自然な準同型が存在するテンプレート:Sfn：
これらの写像によりテンソル積は可換 テンプレート:Mvar-代数の圏 テンプレート:Mvar-テンプレート:Mathbf における余積となる。しかしテンソル積はすべての テンプレート:Mvar-代数の圏 テンプレート:Mvar-テンプレート:Mathbf においては余積ではなく、この圏における余積はより一般的な代数の自由積によって与えられる。それにも関わらず非可換代数のテンソル積は余積に似た普遍性により記述できる：
- （代数の）テンソル積の普遍性
- 任意の テンプレート:Mvar-代数 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar-代数の準同型 テンプレート:Math および テンプレート:Math が元ごとに可換である限りにおいて、テンプレート:Mvar-代数の準同型 テンプレート:Math で テンプレート:Math および テンプレート:Math を任意の テンプレート:Math に対して満たすものがただ一つ存在する。
すなわち、式で書けば、自然な同型
が成立する（右辺の テンプレート:Math は交換子）。
応用
代数のテンソル積は代数幾何学において常時使用される。可換 テンプレート:Mvar-代数の圏の逆圏 テンプレート:Math（アフィンスキームの圏 テンプレート:Math の部分圏と見なせる）においてアフィンスキームの引き戻し（ファイバー積とも呼ばれる）を提供する。