引き戻し (圏論)

テンプレート:For 圏論という数学の分野において，引き戻し（ひきもどし，テンプレート:Lang-en-short），あるいはファイバー積 (fiber/fibre/fibered product)，デカルトの四角形 (Cartesian square) とは，共通の終域を持つ2つの射 テンプレート:Math, テンプレート:Math からなる図式の極限である．引き戻しはしばしば

テンプレート:Math

と書かれ，2つの自然な射 テンプレート:Math, テンプレート:Math を備えている．2つの射の引き戻しが存在するとは限らないが，存在すれば2つの射から本質的に一意に定義される．多くの状況において，テンプレート:Math は，元 テンプレート:Math と テンプレート:Math の対 テンプレート:Math であって テンプレート:Math なるものからなるものと直観的に考えることができる．一般の定義には普遍性が用いられ，このことを本質的な理由として，引き戻しは2つの与えられた射を可換四角形に適合させる「最も一般の」方法である．

引き戻しの双対概念はテンプレート:Ill2 (pushout) である．

普遍性

明示的には，2つの射 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar の引き戻しは，対象 テンプレート:Mvar と2つの射 テンプレート:Math と テンプレート:Math であって次の図式が可換となるものからなる：

さらに，引き戻し テンプレート:Math はこの図式について普遍的でなければならない，つまり，別のそのような3つ組 テンプレート:Math であって次の図式が可換であるような任意のものに対して，一意的な テンプレート:Math（仲介射 (mediating morphism) と呼ばれる）が存在して

$p_2\circ u=q_2,p_1\circ u=q_1$

とならなければならない．

すべての普遍的な構成がそうであるように，引き戻しは，存在すれば，同型を除いて一意である．実際，同じ テンプレート:Ill2 テンプレート:Math の2つの引き戻し テンプレート:Math と テンプレート:Math が与えられると，テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の間の引き戻し構造を尊重した一意的な同型が存在する．

弱い引き戻し

余スパンテンプレート:Math の弱引き戻し (weak pullback) は「弱い普遍性」しか持たない（つまり、上記の仲介射 テンプレート:Math が一意であることを要求しない）ような余スパン上の錐を言う。

引き戻しと積

引き戻しは積と似ているが，同じではない．射 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar と対象 テンプレート:Mvar の存在を「忘れる」ことによって積が得られる．このとき2つの対象 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar のみを持ちそれらの間に何の射もない離散圏が残るが，この離散圏は通常の二項積を構成するための添字集合として用いることができる．したがって，引き戻しは付加構造を持った通常の（デカルト）積と考えることができる．テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar を「忘れる」代わりに，それらを「自明化」することも テンプレート:Mvar を終対象（存在は仮定する）に特殊化すれば可能で（この場合 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は一意に決まって，しかも何の情報も与えない），この cospan の引き戻しは テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の積と見ることができる．

例

可換環

可換環の圏は引き戻しを持つ．

（単位元を持つ）可換環の圏 テンプレート:Mathbf において，引き戻しはファイバー積と呼ばれる．

テンプレート:Math,

テンプレート:Math,

テンプレート:Math

とする．したがって テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar は単位元を持つ可換環であり，テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar は単位元を保つ環準同型である．するとこの図式の引き戻しはデカルト積 テンプレート:Math の部分環

$A{\times }_{C}B=\{(a,b)\in A\times B\mid \alpha (a)=\beta (b)\}$

と次で定義される射

${\beta }^{\prime }:A{\times }_{C}B\to A,{\alpha }^{\prime }:A{\times }_{C}B\to B$

の組である：すべての $(a,b)\in A{\times }_{C}B$ に対して ${\beta }^{\prime }(a,b)=a$ および ${\alpha }^{\prime }(a,b)=b.$ このとき

$\alpha \circ {\beta }^{\prime }=\beta \circ {\alpha }^{\prime }$

である．

集合

集合の圏において，テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の引き戻しは集合

$X{\times }_{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=g(y)\}$

と射影 テンプレート:Math, テンプレート:Math の テンプレート:Math への制限の組である．

あるいは，テンプレート:Mathbf における引き戻しを非対称的に

$X{\times }_{Z}Y\cong \coprod _{x\in X}{g}^{-1}[\{f(x)\}]\cong \coprod _{y\in Y}{f}^{-1}[\{g(y)\}]$

と見ることもできる．ここで $\coprod$ は非交和を表す（現れる各集合は、それぞれ テンプレート:Mvar または テンプレート:Mvar が単射でない限り交わりを持つことに注意）。前者の式の場合、射影 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar を添字として取り出すこと、それと同時に テンプレート:Math は添字であることを忘れて単に テンプレート:Mvar の元とみるものになっている。

この例は引き戻しを特徴づける別の方法を動機付ける，すなわち射 テンプレート:Math のイコライザである，ただし テンプレート:Math は テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の二項積で，テンプレート:Math と テンプレート:Math は自然な射影である．これは二項積とイコライザを持つ任意の圏において引き戻しが存在することを示す．実は，テンプレート:仮リンクによって，終対象，二項積，イコライザを持つ圏において，すべての有限極限が存在する．

ファイバー束

引き戻しの別の例はファイバー束の理論から来る．束写像 テンプレート:Math と連続写像 テンプレート:Math が与えられると，位相空間の圏における引き戻し テンプレート:Math はテンプレート:仮リンクと呼ばれる テンプレート:Mvar 上のファイバー束である．付随する可換図式はファイバー束の射である．

逆像と共通部分

写像による集合の逆像は以下のように引き戻しとして記述できる．

テンプレート:Math, テンプレート:Math とする．テンプレート:Mvar を包含写像 テンプレート:Math とする．このとき，（テンプレート:Mathbf における）テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の引き戻しは，原像 テンプレート:Math と原像の テンプレート:Mvar への包含

テンプレート:Math

と テンプレート:Mvar の テンプレート:Math への制限

テンプレート:Math

によって与えられる．

この例のため，一般の圏において射 テンプレート:Mvar と単射 テンプレート:Mvar の引き戻しは，テンプレート:Mvar によって特定される部分対象の テンプレート:Mvar による「原像」と思うことができる．同様に，2つの単射の引き戻しは2つの部分対象の「共通部分」と思うことができる．

性質

• 終対象 テンプレート:Mvar を持つ任意の圏において，引き戻し テンプレート:Math は単に通常の積 テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn．
• 単射は引き戻しで安定である，すなわち，上の射 テンプレート:Mvar が単射であれば，射 テンプレート:Math も単射であり，同様に，テンプレート:Mvar が単射ならば テンプレート:Math も単射である．
• 同型射も安定であり，したがって，例えば，任意の射 テンプレート:Math（射 テンプレート:Math は恒等射）に対して テンプレート:Math である．
• アーベル圏はすべての引き戻しが存在し，次の意味で核を保つ：

  

  引き戻し図式

  を引き戻し図式とすると，誘導される射 テンプレート:Math と テンプレート:Math は同型である．したがってすべての引き戻し図式は次の形の可換図式を生じる，ただしすべての行と列は完全である：$$\begin{array}{ccccccc}& & & & 0& & 0\\ & & & & \downarrow & & \downarrow \\ & & & & L& =& L\\ & & & & \downarrow & & \downarrow \\ 0& \to & K& \to & P& \to & Y\\ & & \parallel & & \downarrow & & \downarrow \\ 0& \to & K& \to & X& \to & Z.\end{array}$$

• 自然な同型 テンプレート:Math が存在する．明示的には，これが意味するのは：
  • 射 テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math が与えられ，
  • テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の引き戻しが テンプレート:Math と テンプレート:Math によって与えられ，
  • テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の引き戻しが テンプレート:Math と テンプレート:Math によって与えられるならば，
  • テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の引き戻しは テンプレート:Math と テンプレート:Math によって与えられる．

図式的には，これが意味するのは，2つの引き戻し正方形を，1つの射を共有するように隣に並べると，真ん中の共有された射を無視して，大きい引き戻し正方形が得られる．

$$\begin{array}{ccccc}Q& \stackrel{t}{\to }& P& \stackrel{r}{\to }& A\\ {\downarrow }_u& & {\downarrow }_s& & {\downarrow }_f\\ D& \stackrel{h}{\to }& B& \stackrel{g}{\to }& C\end{array}$$

• 引き戻しと積を持つ任意の圏はイコライザを持つ．

関連項目

• テンプレート:Ill2
• 関係代数における等結合

参考文献

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. テンプレート:ISBN2. (now free on-line edition).
• Cohn, Paul M.; Universal Algebra (1981), D.Reidel Publishing, Holland, テンプレート:ISBN2 (Originally published in 1965, by Harper & Row).
• Takeshi, SAITO.; Éléments de Mathématique (2020), University of Tokyo Press, テンプレート:ISBN2.

外部リンク

• Interactive web page which generates examples of pullbacks in the category of finite sets. Written by Jocelyn Paine.
• テンプレート:Nlab