核 (圏論)

テンプレート:Unreferenced 圏論とホモロジー代数において核（かく，テンプレート:Lang-en-short）は、群準同型の核や加群準同型の核や他の代数系の核を一般化した圏論的構成である。直観的には，圏の射 テンプレート:Math の核は、 テンプレート:Mvar の右側から合成して 0 になる「最も一般的な」射 テンプレート:Math である。

定義

テンプレート:Math を零射を持つ圏（category with zero morphisms）または零対象を持つ圏とする。テンプレート:Math の射 テンプレート:Math の核（kernel）とは、対象 テンプレート:Mvar と射 テンプレート:Math の組 テンプレート:Math であって以下の条件を満たすものである：

• $f\circ k$ は テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への零射である；

• 射 テンプレート:Math であって テンプレート:Math が零射であるものが任意に与えられると，一意的な射 テンプレート:Math が存在して，テンプレート:Math と射を分解できる。

多くのテンプレート:仮リンク文脈において，射 テンプレート:Mvar よりも対象 テンプレート:Mvar を「核」と呼んでいることに注意。それらの状況では，テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の部分集合であり，テンプレート:Mvar を包含写像として再構成すれば十分である；具体的でない場合には，対照的に，テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の部分対象としてどのように解釈されるべきかを記述するために射 テンプレート:Mvar が必要である。任意の場合において，テンプレート:Mvar が必ず（圏論の意味で）単射であることを示すことができる。テンプレート:Mvar あるいは テンプレート:Mvar 単独ではなく対 テンプレート:Math として核を考えたいこともある。

すべての射が核を持つわけではないが，持つときにはすべてのその核は強い意味で同型である：テンプレート:Math と テンプレート:Math が テンプレート:Math の核であるとき，一意的な同型射 テンプレート:Math が存在して テンプレート:Math となる。

等化子（イコライザ；equalizer）を用いた定義

圏 テンプレート:Math の射 テンプレート:Math に対して、テンプレート:Mvar の核は テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への零射の等化子としても定義できる。記号で書けば，

テンプレート:Math

である。

例

核は抽象代数学からの多くの圏，例えば群の圏や固定された環上の（左）加群（固定された体上のベクトル空間を含む）の圏において，よく知られている。明確には，テンプレート:Math がこれらの圏の1つの準同型であり，テンプレート:Mvar がその通常の代数的な意味での核であるとき，テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の部分代数系であり，テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への包含準同型が圏論の意味での核である。

モノイドの圏においては，圏論的核は群に対してとちょうど同じように存在するが，これらの核は代数的な目的のためには十分な情報を持っていないことに注意。したがって，モノイド論において研究される核の概念はわずかに異なる（#代数的核との関係を参照）。

環の圏 テンプレート:Mathbf において，圏論的な意味での核は存在しない；実際，この圏は零射すらもたない。それにも拘らず，擬環の圏 テンプレート:Mathbf における核に対応する，環論において研究される核の概念はある。

基点付き位相空間の圏において，テンプレート:Math が基点付き連続写像であるならば，基点の原像 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の部分空間である。 テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への包含写像は テンプレート:Mvar の圏論的核である。

他の圏論的概念との関係

核の双対概念は余核である。つまり，射の核は逆圏におけるその余核であり，逆もまたしかり。

上でのべたように，核は二項等化子あるいは差核のタイプである。逆に，前加法圏において，すべての二項等化子は核として構成できる。具体的に言うと，射 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の等化子は差 テンプレート:Math の核である。記号では

テンプレート:Math

である。二項等化子が射が引けない前加法でない圏においてさえ「差核」とよばれるのはこの事実のためである。

任意の核は，他の等化子がそうであるように，単射である。逆に，単射がテンプレート:仮リンクであるとは，ある射の核であることをいう。圏が正規であるとはすべての単射が正規であることをいう。

とくにアーベル圏はつねに正規である。この状況では任意の射の余核の核（アーベル圏では常に存在する）はその射の像であることがわかる；記号では

テンプレート:Math (アーベル圏において)。

テンプレート:Mvar が単射であるとき，それはそれ自身の像でなければならない；したがって，アーベル圏は正規でありしたがってすべての単射が核であるだけではなく，単射がどの射の核であるかも知っている，つまりその余核の核である。記号では

テンプレート:Math (アーベル圏における単射に対して)。

代数的核との関係

普遍代数学は同じ種類の2つの代数的構造の間の準同型に対して核の概念を定義する。核のこの概念は与えられた準同型が単射からどれだけ離れているかを測る。この代数的な概念と核の圏論的な概念の間にはいくらか重なりがある，なぜならばどちらも上で述べた群や加群の状況を一般化するからである。しかしながら，一般には，核の普遍代数学的な概念は テンプレート:仮リンク という圏論的な概念の方に近い。とくに，核対は圏論的なことばでモノイド論や環論における核を解釈するのに使うことができる。

関連項目

• 余核

参考文献

• テンプレート:Cite book