像 (圏論)

圏 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar における射 $f:X\to Y$ が与えられたとき，テンプレート:Mvar の像（ぞう，テンプレート:Lang-en-short）は単射 $h:I\to Y$ であって以下の普遍性を満たすものであるテンプレート:Sfn：

• テンプレート:Math なる射 $g:X\to I$ が存在する。
• 任意の対象 テンプレート:Mvar と射 $k:X\to Z$ と単射 $l:Z\to Y$ であって テンプレート:Math なるものに対し テンプレート:Math なる射 $m:I\to Z$ が存在する。

像の普遍性

注意：

• そのような分解が存在するとは限らない。
• テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の単射性（左可逆）により一意である。
• テンプレート:Mvar は単射である。
• テンプレート:Math は（テンプレート:Mvar の単射性より） テンプレート:Mvar が一意であることを含んでいる。

テンプレート:Mvar の像はしばしば テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math と記される。

例

集合の圏において射 $f:X\to Y$ の像は通常の像 $\{f(x)\mid x\in X\}$ から テンプレート:Mvar への包含である。群の圏やアーベル群の圏や（左または右）加群の圏など多くのテンプレート:仮リンクにおいて、射の像は集合の圏における対応する射の像である。

零対象とすべての射に対して核と余核を持つ任意のテンプレート:仮リンクにおいて、射 テンプレート:Mvar の像は

テンプレート:Math

と表せる。アーベル圏（これはとくに双正規である）において テンプレート:Mvar が単射ならば テンプレート:Math であり、したがって テンプレート:Math である。

参考文献

• テンプレート:Mitchell TOC

関連項目

• 部分対象
• 余像
• 像 (数学)