アーベル群の圏
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テンプレート:混同 数学の一分野である圏論におけるアーベル群の圏（あーべるぐんのけん、テンプレート:Lang-en-short）テンプレート:Math は、アーベル群を対象とし群準同型を射とする圏である。アーベル群の圏はアーベル圏の原型でありテンプレート:Sfn、実際に任意の小さいアーベル圏は テンプレート:Math に埋め込めるテンプレート:Sfn。
性質
- アーベル群の圏 テンプレート:Math の零対象は、単位元のみからなる自明群 テンプレート:Math が与える。
- アーベル群の圏 テンプレート:Math の単型射は単準同型であり、全型射は全準同型、同型射は双射準同型である。
- アーベル群の圏 テンプレート:Math は群の圏 テンプレート:Math の充満部分圏である。両者の主な違いは、テンプレート:Math において二つの準同型 テンプレート:Mvar の「和」テンプレート:Math が定義され、 によってそれが再び群準同型となることである。ここで第三の等号において群が可換であるという仮定が用いられている。この準同型の加法により、アーベル群の圏 テンプレート:Math は前加法圏となり、さらにアーベル群の有限直和がテンプレート:仮リンクとなるから、実際には加法圏を成す。
- アーベル群の圏 テンプレート:Math において、圏論的核は代数学的核に一致する。すなわち、射 テンプレート:Math の圏論的な意味での核とは、テンプレート:Math で定義される テンプレート:Mvar の部分群 テンプレート:Mvar に包含準同型 テンプレート:Math を合わせて考えたものである。余核についても同様で、テンプレート:Mvar の余核とは、剰余群 テンプレート:Math に自然な射影 テンプレート:Math を合わせて考えたものになる（ここで テンプレート:Math と テンプレート:Math のさらなる重大な違いがあることに注意せよ。すなわち、テンプレート:Math においては テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の正規部分群とならず、従って剰余群 テンプレート:Math が得られないことが起こり得る）。このように具体的に核と余核が記述できるから、テンプレート:Math が実際にアーベル圏となることを見るのは極めて容易である。
- アーベル群の圏 テンプレート:Math における圏論的直積は群の直積で与えられる。群の直積は、台集合のデカルト積に成分ごとの積で群演算を入れたものである。テンプレート:Math は核を持つから、テンプレート:Math が完備圏となることが示せる。テンプレート:Math の圏論的直和は群の直和で与えられる。テンプレート:Math は余核を持つから、テンプレート:Math がテンプレート:仮リンクとなることも示せる。
- テンプレート:仮リンク テンプレート:Math はアーベル群の群構造を忘れて、その台集合を割り当てる（各群準同型も単に集合間の写像と見なす）ものである。この函手は忠実ゆえ、アーベル群の圏 テンプレート:Mathはテンプレート:仮リンクである。この忘却函手は左随伴（任意の集合に、それが生成する自由アーベル群を割り当てる函手）を持つが、右随伴は持たない。
- アーベル群の圏 テンプレート:Math において直極限をとる操作は完全函手である。整数の加法群 テンプレート:Math はテンプレート:仮リンク であるから、したがってアーベル群の圏 テンプレート:Math はテンプレート:仮リンクになる（実際には、テンプレート:Math はグロタンディエック圏の原型例である）。
- アーベル群の圏 テンプレート:Math に属する対象が入射対象となるための必要十分条件は、それが可除群となることである。また射影対象となるための必要十分条件は、それが自由アーベル群となることである。テンプレート:Math は射影的生成対象 テンプレート:Math とテンプレート:仮リンク テンプレート:Math を持つ。
- 二つのアーベル群 テンプレート:Mvar が与えられたとき、それらのテンソル積 テンプレート:Math が定義され、ふたたびアーベル群を成す。テンソル積を備えた テンプレート:Math は対称モノイド圏を成す。
- アーベル群の圏 テンプレート:Math はデカルト閉でない（したがってトポスにもならない）。これは指数対象がないためである。