射影加群

数学において、射影加群(しゃえいかぐん、テンプレート:Lang-en-short）とは、 表現可能関手 テンプレート:Math が完全となるような加群 テンプレート:Mvar のことである。 自由加群の一般化に相当する。 ホモロジー代数学における基本的な概念のひとつであり、テンプレート:Harvtxtで導入されたテンプレート:Sfn。

動機

一般の加群 テンプレート:Mvar に対して表現可能関手 テンプレート:Math は左完全である。 つまり任意の短完全列

$0\to N\to M\to K\to 0$

に対して

$0\to \mathrm{Hom}(P,N)\to \mathrm{Hom}(P,M)\to \mathrm{Hom}(P,K)$

は完全である。 この関手 テンプレート:Math が完全となる、つまり

$0\to \mathrm{Hom}(P,N)\to \mathrm{Hom}(P,M)\to \mathrm{Hom}(P,K)\to 0$

が完全となる加群 テンプレート:Mvar のことを射影加群と呼ぶ。

定義

テンプレート:Mvar を単位元をもつ環とし、以下では加群はすべて左 テンプレート:Mvar 加群、射はすべて左 テンプレート:Mvar 加群の準同型を指すことにする。 加群 テンプレート:Mvar が射影加群である、あるいは射影的とは次の同値な条件のいずれかが成り立つことをいう。

• 関手 テンプレート:Math が完全である、つまり任意の短完全列 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math も短完全列である
• テンプレート:Mvar はある自由加群の直和因子と同型である
• 任意の全射 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math も全射である
• 任意の加群 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math
• 任意の加群 テンプレート:Mvar と正の整数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math
• 任意の全射 テンプレート:Math と射 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math となる射 テンプレート:Math が存在する

より一般にアーベル圏 $𝒜$ の対象 P は関手 ${\mathrm{Hom}}_{𝒜}(P,-)$ が完全なときに、射影的という。

例

• 環 テンプレート:Math の直和 テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math は射影的な テンプレート:Mvar 加群であるが、自由加群ではないテンプレート:Sfn。

性質

• 環 テンプレート:Mvar は半単純 ⇔ すべての左 テンプレート:Mvar 加群は射影的テンプレート:Sfn
• テンプレート:Mathはすべて射影加群 ⇔ テンプレート:Math は射影加群テンプレート:Sfn
• 可換局所環上の有限生成射影加群は自由加群テンプレート:Sfn
• 体係数多項式環上の有限生成射影加群は自由加群 （en:Quillen-Suslin theorem）

射影分解と射影次元

加群 テンプレート:Mvar に対し、各 テンプレート:Mvar が射影加群であるような次の完全列

$\cdots \to P_{n+1}\stackrel{d_{n+1}}{\to }{P}_n\to \cdots \to P_1\stackrel{d_1}{\to }{P}_0\stackrel{d_0}{\to }M\to 0$

を テンプレート:Mvar の射影分解というテンプレート:Sfn。特にすべての テンプレート:Math に対して テンプレート:Math が射影被覆となるときは極小射影分解という。任意の加群には自由分解（上記で射影加群を自由加群に置き換えたもの）が存在し、したがって射影分解も存在する。すべての テンプレート:Math に対し テンプレート:Math であるような射影分解を長さ テンプレート:Mvar の射影分解という。そのような テンプレート:Mvar が存在する場合その最小値を テンプレート:Mvar の射影次元といい、存在しない場合は射影次元は テンプレート:Math という。ただし、テンプレート:Math の射影次元は テンプレート:Math とする。射影次元は テンプレート:Math と書かれる。これは テンプレート:Mvar の極小射影分解の長さに等しい。テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Mvar と整数 テンプレート:Math に対して以下は同値テンプレート:Sfn。

• テンプレート:Math.
• 任意の テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Mvar に対して、${\mathrm{Ext}}_R^{n+1}(M,X)=\{0\}.$
• 任意の テンプレート:Math と任意の テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Mvar に対して、${\mathrm{Ext}}_R^i(M,X)=\{0\}.$

関連項目

• Ext群
• 入射加群
• 平坦加群
• 射影被覆

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book (Review by S. MacLane)
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Cite book 数学 sugaku1947.58.413