射影被覆

数学において、射影被覆（しゃえいひふく、テンプレート:Lang-en-short）とは、射影加群テンプレート:Mvar と加群テンプレート:Mvar へ全射準同型写像テンプレート:Math の組のうちで、核が‘最小’になるもののことをいう（#定義）。

動機

π : P ↠ M

したがって準同型定理より

P / \ker π = M

である。そこで加群テンプレート:Mvar をテンプレート:Math が‘最小’になるように選んで、射影加群テンプレート:Mvar で‘近似’したものを射影被覆という。より正確にはテンプレート:Mvar のすべての部分加群テンプレート:Mvar に対して

\ker π + L = P ⟹ L = P

が成り立つとき、テンプレート:Math は射影被覆であるという。

テンプレート:Mvar を単位元をもつ環とし、以下では加群はすべて左テンプレート:Mvar 加群、射はすべて左テンプレート:Mvar 加群の準同型を指すことにする。

加群テンプレート:Mvar の部分加群テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar の余剰部分加群（superfluous submodule, small submodule）であるとは、すべてのテンプレート:Mvar の部分加群テンプレート:Mvar に対して

K + L = N ⟹ L = N

π : P ↠ M

の組テンプレート:Math が 射影被覆 であるとは、テンプレート:Math が余剰全射であることをいうテンプレート:Sfn。このことをテンプレート:Mvar が射影被覆であるといったり、テンプレート:Math が射影被覆であるといったりすることもある。

一般に加群の射影被覆が存在するとは限らないテンプレート:Sfn。（けれども、たとえばアルティン環上の加群に対しては存在するテンプレート:Sfn。）もし存在すれば一意的に定まることは次の補題からわかる。

補題テンプレート:Sfn: テンプレート:Math が射影被覆であるとする。もしテンプレート:Mvar が射影加群で、全射テンプレート:Math があれば、テンプレート:Math となるテンプレート:Math の部分加群テンプレート:Mvar が存在して、制限テンプレート:Math は射影被覆である。

テンプレート:Mvar をゼロでない射影加群とする。射影加群テンプレート:Mvar がある既約加群の射影被覆である必要十分条件は、テンプレート:Mvar のゼロでないすべての商加群が直既約であることであるテンプレート:Sfn。