平坦加群

数学において、平坦加群（へいたんかぐん、テンプレート:Lang-en-short）とは、テンソル積をとる関手 テンプレート:Math が完全となる加群 テンプレート:Mvar のことである。 ホモロジー代数学および代数幾何学における基本的な概念のひとつ。ジャン＝ピエール・セールによって導入された。

定義

テンプレート:Mvar を環、テンプレート:Mvar を右 テンプレート:Mvar 加群とする。 テンプレート:Mvar 加群からなる任意の短完全系列

$0\to N_1\to N_2\to N_3\to 0$

に対して、テンプレート:Mvar とのテンソル積をとった系列

$0\to M{\otimes }_A{N}_1\to M{\otimes }_A{N}_2\to M{\otimes }_A{N}_3\to 0$

が完全になるとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 上平坦である、または テンプレート:Mvar は平坦 テンプレート:Mvar 加群であるという。 テンプレート:Mvar が左 テンプレート:Mvar 加群のときも同様に定義される。

なお一般の加群 テンプレート:Mvar に対しては、関手 テンプレート:Math は右完全ゆえ

$M{\otimes }_A{N}_1\to M{\otimes }_A{N}_2\to M{\otimes }_A{N}_3\to 0$

は完全系列となるが、左端の射が一般には単射にならない。

テンプレート:Mvar 代数 テンプレート:Mvar が平坦であるとは、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 加群として平坦であることをいう。

性質

• 射影加群は平坦である。特に自由加群も平坦である。
• （推移性） テンプレート:Mvar が平坦 テンプレート:Mvar 代数で、テンプレート:Mvar が平坦 テンプレート:Mvar 加群ならば、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 加群としても平坦である。
• （係数拡大） テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar が平坦ならば、任意の テンプレート:Mvar 代数 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Math も平坦である。
• テンプレート:Math を環 テンプレート:Mvar の積閉集合 テンプレート:Mvar による局所化とすると、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上平坦である。
• （局所性）上より、テンプレート:Mvar の任意の素イデアル テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Math は平坦な テンプレート:Math 加群となる。逆に、任意の テンプレート:Mvar に対し テンプレート:Math が テンプレート:Math 上平坦ならば、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 上平坦である。
• テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の自明でないイデアルとすると、テンプレート:Mvar が テンプレート:Math の形に書ける場合を除き、テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Math は平坦でない。
• テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar が平坦であることと、任意の テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar に対し テンプレート:Math となることとは同値である。

忠実平坦性

テンプレート:Mvar は平坦な テンプレート:Mvar 加群であるとすると、次に述べる条件は同値である。これらの条件を満たすとき テンプレート:Mvar は忠実平坦な テンプレート:Mvar 加群であるという。

• テンプレート:Mvar の任意の極大イデアル テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Math が成り立つ。
• テンプレート:Math が完全ならば、テンプレート:Math も完全である。
• テンプレート:Math でない任意の テンプレート:Mvar 加群 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Math が成り立つ。

テンプレート:Mvar 代数 テンプレート:Mvar に関しても同様に忠実平坦性を定義する。この場合は次も同値である。

• テンプレート:Mvar の任意の素イデアル テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Math なる テンプレート:Mvar の素イデアル テンプレート:Mvar が存在する。

概型論

スキームの射 テンプレート:Math が平坦であるとは、テンプレート:Mvar のすべての点 テンプレート:Mvar に対し、局所環の射 テンプレート:Math が平坦であることをいう。環における平坦性が局所的性質であることから、アフィンスキームの間の射の平坦性は対応する環の射の平坦性と同値である。

平坦かつ全射である射は忠実平坦であるという。これもアフィンスキームにおいては環での定義と一致する。

平坦分解と平坦次元

環 テンプレート:Mvar 上の加群 テンプレート:Mvar に対し、各 テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Mvar が平坦加群であるような次の完全列

$\cdots \to F_{n+1}\to F_n\to \cdots \to F_1\to F_0\to M\to 0$

を テンプレート:Mvar の平坦分解という。自由分解や射影分解は平坦分解である。すべての テンプレート:Math に対し テンプレート:Math であるような平坦分解を長さ テンプレート:Mvar の平坦分解という。そのような テンプレート:Mvar が存在する場合その最小値を テンプレート:Mvar の平坦次元といい、存在しない場合は平坦次元は テンプレート:Math という。平坦次元は テンプレート:Math と書かれる。平坦次元は射影次元を超えない。左 テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Mvar と整数 テンプレート:Math に対して以下は同値テンプレート:Sfn。

• テンプレート:Math.
• 任意の右 テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Mvar に対して、${\mathrm{Tor}}_{n+1}^R(X,M)=\{0\}.$
• 任意の テンプレート:Math と任意の右 テンプレート:Mvar-加群 テンプレート:Mvar に対して、${\mathrm{Tor}}_i^R(X,M)=\{0\}.$

参考文献

• テンプレート:Cite book

関連項目

• 可換環論、環上の加群
• 素イデアル、極大イデアル
• テンソル積
• 射影加群、入射加群
• Tor関手
• フォン・ノイマン正則環