線型無関連

数学において、体 k のある拡大体 $\mathrm{\Omega }$ （例えばテンプレート:仮リンク）の中での k 上の代数 A, B は次の同値な条件が成り立つときに k 上線型無関連 (linearly disjoint over k) と言われる：

• (i) $(x,y)\mapsto xy$ から誘導される写像 $A{\otimes }_{k}B\to AB$ は単射である。
• (ii) A の任意の k-基底は B 上線型独立なままである。
• (iii) $u_i,v_j$ が A, B の k-基底であれば、積 $u_i{v}_j$ は k 上線型独立である。

$\mathrm{\Omega }$ のすべての部分代数は整域であるから、(i) ならば $A{\otimes }_{k}B$ は整域（特に被約）であることに注意する。

また次が成り立つ： A, B が k 上線型無関連であることと $A,B$ によってそれぞれ生成される $\mathrm{\Omega }$ の部分体が k 上線型無関連であることは同値である。（cf. 体のテンソル積）

A, B が k 上線型無関連とする。$A^{\prime }\subset A$, $B^{\prime }\subset B$ が部分代数であれば、$A^{\prime }$ と $B^{\prime }$ は k 上線型無関連である。逆に、代数 A, B の任意の有限生成部分代数が線型無関連であれば、A, B は線型無関連である（なぜならば条件は元の有限集合しか含まないからである）。

関連項目

• 体のテンソル積

参考文献

• P.M. Cohn (2003). Basic algebra