米田の補題

米田の補題（よねだのほだい、テンプレート:Lang-en-short）とは、小さなhom集合をもつ圏 テンプレート:Math について、共変あるいは反変hom関手 テンプレート:Math, テンプレート:Math から集合値関手 テンプレート:Math への自然変換と、値となる集合 テンプレート:Math の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。「米田の補題」という名称は、米田信夫に因んでソーンダース・マックレーンにより名付けられた。その主張は、マックレーンによれば、米田の仕事に早くから現れていたという。ただし、テンプレート:仮リンクによれば、この補題が初めて (明示的に) 論文に登場したのは テンプレート:Harvtxt である。

米田の補題は、普遍性という概念の根幹に関わる重要な補題であり、また、圏論において「間違いなく最も重要な結果である」「もしかしたら最も利用されているただ1つの結果かもしれない」と言われている。

概要

主張の内容

テンプレート:Math を局所的に小さい（locally small）圏とする。すなわち テンプレート:Math の各対象 テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math は集合であるとする。対象 テンプレート:Mvar を固定するとき、共変hom関手 テンプレート:Math は対象 テンプレート:Mvar に対して、集合 テンプレート:Math を割り当て、射 テンプレート:Math に対して写像 テンプレート:Math を割り当てる関手であった。さらに、 テンプレート:Math を集合値関手とし、テンプレート:Math から テンプレート:Mvar へのすべての自然変換のクラス テンプレート:Math について考える。

このとき、米田写像（Yoneda map）と呼ばれる全単射$$y:\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(H^A,F)\cong F(A)$$が存在し、この同型は テンプレート:Math と テンプレート:Math について自然である、という主張が米田の補題である。また、テンプレート:Mvar が反変関手 テンプレート:Math である場合も、反変hom関手 テンプレート:Math との間に$$y:\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(H_A,F)\cong F(A)$$という全単射が存在して、これは テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar について自然となる。このことはどちらも米田の補題と呼ばれる。

米田写像の対応

関手 テンプレート:Mvar は共変 (テンプレート:Math) とする。このとき、共変hom関手 テンプレート:Math から テンプレート:Mvar への自然変換 テンプレート:Math は、任意の テンプレート:Mbf の射 テンプレート:Math に対して ${\tau }_Y\circ H^A(f)=Ff\circ {\tau }_X$ が定義から成り立つ。いま、テンプレート:Math の場合に、テンプレート:Mvar での恒等射 テンプレート:Math がどのように写るかを追うことで、等式$${\tau }_Y(f)=Ff({\tau }_X({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A))$$を得る。ここから、自然変換 テンプレート:Math の情報は ${\tau }_X({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)\in F(A)$ から全て得られることがわかる。

証明

米田写像 テンプレート:Mvar を、自然変換 テンプレート:Mvar に対して $y(\tau )={\tau }_A({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)$ で定める。テンプレート:Mvar が全単射であることを示す。

単射性：テンプレート:Math に対して、自然変換 テンプレート:Math が存在して テンプレート:Math であったとする。このとき、任意の射 テンプレート:Math に対して テンプレート:Mvar は ${\tau }_Y(a)=Ff(a)$ を満たす。これにより テンプレート:Mvar の全てのコンポーネントが一意に定まる、すなわちそのような テンプレート:Mvar は一意に定まるため、テンプレート:Mvar は単射である。

全射性：テンプレート:Math を任意に固定する。テンプレート:Math の対象 テンプレート:Mvar それぞれに対して、写像 テンプレート:Math を ${\tau }_X(f)=Ff(a)$ で定める。このとき、テンプレート:Math と テンプレート:Math に対して $Ff({\tau }_X(g))=F(f\circ g)(a)={\tau }_Y(f\circ g)$ が成り立つことから、テンプレート:Math はある自然変換 テンプレート:Math のコンポーネントである。定義から テンプレート:Math であるため テンプレート:Math が成り立つ。すなわち テンプレート:Mvar は全射である。

補題の帰結

普遍性

集合値関手 テンプレート:Math が、ある テンプレート:Math と自然同型であるとき、テンプレート:Mvar を表現可能関手 (representable functor) といい、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の表現対象 (representing object) あるいは単に テンプレート:Mvar の表現という。テンプレート:Mvar が表現可能関手であるとき、米田の補題の帰結として次の主張が成り立つ。 テンプレート:Math theorem 逆に、上記定理の条件を満たす テンプレート:Mvar と テンプレート:Math の組を テンプレート:Mvar の普遍要素 (universal element) と呼ぶ。より一般に、関手 テンプレート:Math と テンプレート:Math に対して、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar への普遍性 (universality) とは、テンプレート:Math と テンプレート:Mbf の射 テンプレート:Math の組であって、任意の テンプレート:Math と テンプレート:Mbf の射 テンプレート:Math に対して、テンプレート:Mbf の射 テンプレート:Math がただ1つ存在して、テンプレート:Math が成り立つことを言う。

普遍要素の性質は一点集合からの普遍性と言えて、普遍性は テンプレート:Math の普遍要素として表現できるため、普遍性・普遍要素・表現可能関手はそれぞれ互いの概念を包含する。

米田埋め込み

米田写像の自然性から、対象 テンプレート:Math に関手 テンプレート:Math、あるいは テンプレート:Math を割り当てる操作は、関手

$$H^{\bullet }:{𝐂}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to [𝐂,𝐒𝐞𝐭](H_{\bullet }:𝐂\to [{𝐂}^{\mathrm{o}\mathrm{p}},𝐒𝐞𝐭])$$を構成する。米田の補題から $\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(H^A,H^B)\cong H^B(A)=\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,B)$ であるため、テンプレート:Math (テンプレート:Math) は忠実充満であることが言える。このことから、テンプレート:Math (テンプレート:Math) を米田埋め込み (Yoneda embedding) とも呼ぶ。米田埋め込みは テンプレート:Mvar や テンプレート:Math などの記号によって表されることもある。

関手 テンプレート:Math に対して、テンプレート:Mvar の「要素の圏」(category of elements) テンプレート:Math とは、テンプレート:Math、テンプレート:Math の組とその関係を保つ テンプレート:Mbf の射からなる圏 (すなわち、米田埋め込み テンプレート:Math を用いたコンマ圏 テンプレート:Math) のことである。テンプレート:Math から テンプレート:Mbf の情報を取り出す関手を テンプレート:Math と表すとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math の余極限 (と同型) である。つまり、任意の集合値関手は表現可能関手による余極限として表される。

前層の部分対象分類子

部分対象分類子の可換図式

有限の極限を持つ圏 テンプレート:Mbf 上のテンプレート:日本語版にない記事リンクとは テンプレート:Mbf からの反変関手 テンプレート:Math のことであり、このとき前層の圏を テンプレート:Math で表す。圏 テンプレート:Mbf のテンプレート:日本語版にない記事リンクとは、(存在するならば) テンプレート:Mbf の対象 テンプレート:Math とモノ射 テンプレート:Math (テンプレート:Mathは終対象) であって、任意のモノ射 テンプレート:Math に対して、テンプレート:Math かつその可換図式が引き戻しとなるような ${\chi }_j:X\to \mathrm{\Omega }$ がただ1つ存在するようなものを言う。

前層の圏 テンプレート:Mbf への米田埋め込みを テンプレート:Math で表すとする。いま、テンプレート:Mbf に部分対象分類子 テンプレート:Math が存在するならば、特に テンプレート:Math (テンプレート:Math) について$${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\widehat{𝐂}}(YC,\mathrm{\Omega })=\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}({\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝐂}(\mathrm{\_},C),\mathrm{\Omega })\cong \mathrm{\Omega }(C)$$が成り立つ (右の同型が米田の補題から従う)。部分対象分類子の定義から、左辺の集合は テンプレート:Mvar の部分対象の集合と互いに1対1対応する。従って、等式全体が テンプレート:Mvar について自然であることから、テンプレート:Mbf は必ず部分対象分類子を持ち、それは表現可能な前層 テンプレート:Mvar の部分対象を調べればよいことがわかる。

豊穣圏での補題

豊穣圏とは、通常の圏におけるhom集合 (すなわち対象の間の射の集合) の代わりに、順序集合、加法群、その他の対象 (一般には、あるモノイダル圏 テンプレート:Mvar の対象として記述される) を割り当てるような一般化した構造であり、例えばこの意味で通常の圏は テンプレート:Mbf-豊穣圏、2-圏は テンプレート:Mbf-豊穣圏と言える。豊穣圏の理論では、テンプレート:Mvar の条件によって (具体的には完備かどうかによって) 米田の補題は強いものと弱いものに分けられる。 テンプレート:Math theoremテンプレート:Math theorem

ただし豊穣圏の理論において「関手圏」テンプレート:Math のhom対象 テンプレート:Math にあたるものは、関手 テンプレート:Math のテンプレート:仮リンクである。$$[A,V](A(K,\mathrm{\_}),F):=\underset{x\in A}{\int }V(A(K,x),Fx)$$

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Citation
• テンプレート:Cite book
  • (再版) テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite Q
• テンプレート:Cite Q
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book 邦訳：『圏論の基礎』
• テンプレート:Cite Q
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• 図式スキーム
• ホモロジー代数
• アーベル圏