テンソル代数

テンプレート:No footnotes 数学におけるベクトル空間 テンプレート:Mvar 上のテンソル代数（テンソルだいすう、テンプレート:Lang-en-short）テンプレート:Math または テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の任意階のテンソル全体がテンソル積を乗法として成す体上の多元環である。これは多元環をベクトル空間とみなすテンプレート:仮リンクの左随伴となるという意味において テンプレート:Mvar 上の自由多元環、すなわち普遍性を満たすという意味で テンプレート:Mvar を含む多元環として「最も一般」のものである。

テンソル代数はまた二種類の余代数構造を持つ。一つは簡素で双代数を定めないが、もう一つはより複雑なもので双代数を導き、さらに対蹠射を以ってホップ代数へ拡張することができる。

注意

本項において多元環（代数）は単位的かつ結合的なものと仮定する。

構成

テンプレート:Mvar は体 テンプレート:Mvar 上のベクトル空間とする。任意の非負整数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-次テンソル冪とは テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-重テンソル積

$T^k(V)=V^{\otimes k}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V$

を言う。即ち、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の [[テンソル|テンプレート:Mvar-階（反変）テンソル]]全体からなる。規約により、テンプレート:Math はテンプレート:仮リンク テンプレート:Mvar（をそれ自身の上のベクトル空間と見たもの）であるものとする。

このときテンソル代数 テンプレート:Math は テンプレート:Math に対する テンプレート:Mvar-次テンソル冪 テンプレート:Math のなす列のベクトル空間の直和

$T(V)=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{T}^k(V)=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots$

を台として構成される。テンプレート:Math における乗法は、テンソル積によって与えられる自然同型

$T^k(V)\otimes T^{\ell }(V)\to T^{k+\ell }(V)$

を テンプレート:Math 全体まで線型に拡張したもので与えられる。この乗法法則により自然に、テンソル代数 テンプレート:Math は各 テンプレート:Math を次数 テンプレート:Mvar の斉次部分空間に持つ次数付き多元環となる。この次数付けは負の整数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math と置いて付け加えることにより テンプレート:Math-次数付けに拡張できる。

この構成は全くそのままのやり方で可換環 テンプレート:Mvar 上の任意の加群 テンプレート:Mvar のテンソル代数に一般化される。テンプレート:Mvar が非可換のときは、任意の テンプレート:Math-両側加群に対してならばこの構成を実行できる（単に テンプレート:Mvar-加群としたのでは、テンソル冪が作れないのでうまくいかない）。

随伴と普遍性

テンソル代数 テンプレート:Math はベクトル空間 テンプレート:Mvar 上の自由多元環とも呼ばれ、また テンプレート:Mvar に関して函手的である。他のテンプレート:仮リンクがそうであるように、函手 テンプレート:Mvar は適当なテンプレート:仮リンクの左随伴となる。今の場合、考えるべき忘却函手は各 テンプレート:Mvar-代数をその台となるベクトル空間へ写すものである。

陽に書けば、テンソル代数の普遍性（テンプレート:Mvar を含む最も一般な多元環であることをきちんと述べたもの）は以下のようなものである:

テンソル代数の普遍性

テンプレート:Mvar 上の任意の多元環 テンプレート:Mvar と任意の線型写像 テンプレート:Math が与えられたとき、テンプレート:仮リンク テンプレート:Math で テンプレート:Math を満たすものが一意的に存在する。

ここに、テンプレート:Math は自然な埋め込み（随伴の単位射）である。したがって、以下の図式

テンソル代数の普遍性

が可換となる。実は、この性質を満たす一意的な多元環としてテンソル代数 テンプレート:Math を定義することができる（厳密に言えば一意的な同型を除いて一意）が、それでもこの性質を満たす対象が存在することは示さなければならない。

上記の普遍性は、テンソル代数の構成が自然に「函手的」となることを示している。すなわち、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 上のベクトル空間の圏 テンプレート:Mvar-テンプレート:Mathbf から テンプレート:Mvar-多元環の圏 テンプレート:Mvar-テンプレート:Mathbf への函手である。テンプレート:Mvar の函手性は任意の線型写像 テンプレート:Math は多元環の準同型 テンプレート:Math へ一意的に延長されることを意味する。

非可換多項式

ベクトル空間 テンプレート:Mvar が有限な次元 テンプレート:Mvar を持つとき、テンソル代数の別の見方として「テンプレート:Mvar 上の非可換な テンプレート:Mvar-変数多項式の環」とみることができる。テンプレート:Mvar の基底ベクトルをとって、それを テンプレート:Math における非可換変数（あるいは非可換不定元）、すなわち結合性、分配性および テンプレート:Mvar-線型性の他は何の制約も持たない元と見る。

注意すべき点として、テンプレート:Mvar 上の非可換多項式環として適切なのは テンプレート:Math よりはむしろ テンプレート:Math の方であることが挙げられる。これは テンプレート:Mvar 上の一次斉次函数は テンプレート:Math の元であること、またベクトル空間上の座標函数 テンプレート:Math は（ベクトルをその座標成分となるスカラーへ写す函数とみれば）共変ベクトルであることによる。

商代数系

テンソル代数が最も一般の多元環であることを利用して、ほかの多くの多元環について、まずテンソル代数を構成してからそこに生成元に関する特定の関係式を導入して構成すること、つまり テンプレート:Math のある種のテンプレート:仮リンク構成に興味が持たれる。例えば、外積代数、対称代数、クリフォード代数や普遍包絡代数など。

余代数構造

テンソル代数は二種類の余代数構造を持つ。一つは簡素で双代数を定めないが、もう一つはより複雑なもので双代数を導き、さらに対蹠射を以ってホップ代数へ拡張することができる。

単純な余代数構造

テンソル代数上の単純な余代数構造は以下のようなものである。余乗法 テンプレート:Math は

$\mathrm{\Delta }(v_1\otimes \dots \otimes v_m):=\sum _{i=0}^m(v_1\otimes \dots \otimes v_i)\otimes (v_{i+1}\otimes \dots \otimes v_m)$

を テンプレート:Math まで線型に延長することで与えられる。余単位射は

$\epsilon (v)=\{\begin{array}{cc}v& (v\in T^0(V))\\ 0& (v\in T^k(V),k>0)\end{array}$

である。余乗法 テンプレート:Math は次数付けを反映すれば

$T^m(V)\to \underset{i+j=m}{⨁}{T}^i(V)\otimes T^j(V)$

を満たすこと、また余単位射 テンプレート:Math も次数付けと両立することなどに注意。

テンソル代数にこの余乗法と余単位射を考えたものは双代数を成さない。

双代数およびホップ代数の構造

しかし以下のような複雑な形の余乗法

$\mathrm{\Delta }(x_1\otimes \dots \otimes x_m)=\sum _{p=0}^m\sum _{\sigma \in {\mathrm{S}\mathrm{h}}_{p,m-p}}(x_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes x_{\sigma (p)})\otimes (x_{\sigma (p+1)}\otimes \dots \otimes x_{\sigma (m)})$

を入れれば双代数になる。ただし後ろの和はテンプレート:仮リンクすべてに亙ってとる。

さらに、対蹠射 テンプレート:Mvar を

$S(x_1\otimes \dots \otimes x_m)=(-1{)}^m{x}_m\otimes \dots \otimes x_1$

を テンプレート:Math 全体まで線型に延長することによって与えれば、テンソル代数はホップ代数を成す。

これはちょうど自由多元環上の標準ホップ代数構造に一致する。ただし、テンプレート:Math 上の余乗法を

$\mathrm{\Delta }(x)=x\otimes 1+1\otimes x$

で定義し、これを

$\mathrm{\Delta }(x_1\otimes \dots \otimes x_m)=\mathrm{\Delta }(x_1)\mathrm{\Delta }(x_2)\cdots \mathrm{\Delta }(x_m).$

を通じて テンプレート:Math へ延長する。同様に対蹠射も テンプレート:Math で

$S(x)=-x$

となるものとし、テンプレート:Math の一意的なテンプレート:仮リンクとして延長する。すなわち

$S(x_1\otimes \dots \otimes x_m)=S(x_m)S(x_{m-1})\cdots S(x_2)S(x_1)$

により テンプレート:Math 上の対蹠射を定義する。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Citation

関連項目

• テンソル空間
• 対称代数
• 外積代数
• モノイド圏
• フォック空間

外部リンク

• テンプレート:Nlab
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:ProofWiki
• テンプレート:SpringerEOM