テンソル空間

数学におけるテンソルのテンプレート:仮リンク現代的な取扱いは、テンソル空間（テンソルくうかん、テンプレート:Lang-en-short）と呼ばれる抽象代数学的な対象の元として、ある種の多重線型性によって表される。よく知られたテンソルの古典的な性質の数々はそれらの定義から導かれ、テンソルに対する操作に関する規則は線型代数学から多重線型代数学への理論の拡張をもたらす。

このような座標に依らない記述法は、テンソルが自然に現れる抽象代数学およびホモロジー代数においても重々用いられる。

一方、物理学において慣例的に用いられる座標に基づくテンソルの添字表記法は、テンソル空間の元 テンプレート:Mvar を、台となるベクトル空間 テンプレート:Mvar の基底とその双対空間 テンプレート:Math の双対基底を用いて

$\mathrm{\Xi }=\sum {\xi }_{ij\dots }^{kl\dots }(e_k\otimes e_l\otimes \cdots )\otimes (f^i\otimes f^k\otimes \cdots )$

と展開するときの、スカラー成分

${\xi }_{ij\dots }^{kl\dots }$

として理解することができる（擬テンソルなどはこの構成に含まれず一般テンソル空間を考える必要がある）。

定義

テンプレート:Seealso 共通の体 テンプレート:Mvar 上のベクトル空間の有限集合 テンプレート:Math が与えられたとき、それらのテンソル積 テンプレート:Math はふたたび テンプレート:Mvar 上のベクトル空間であり、またその元はテンソルと呼ばれる。特に一種類のベクトル空間 テンプレート:Mvar から作られるテンソル積空間

$V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}$

を テンプレート:Mvar 上のテンソル空間と呼び、その元（ベクトル）をベクトル空間 テンプレート:Mvar 上のテンソルと言う。ここに テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の双対空間である。

この積において テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar 個、テンプレート:Math が テンプレート:Mvar 個であるとき、その元であるテンソルは テンプレート:Math-型または テンプレート:Mvar-階反変・テンプレート:Mvar-階共変であるといい、また テンプレート:Math をそのテンソルの階数または テンプレート:仮リンク (order, degree) という。特にテンプレート:Math-階テンソルはスカラー（テンプレート:Mvar の元）であり、テンプレート:Math-階反変テンソルは テンプレート:Mvar に属するベクトル、テンプレート:Math-階共変テンソルは テンプレート:Math に属する一次形式のことである（それがゆえに、テンプレート:Math-階テンソルを反変ベクトルまたは共変ベクトルとしばしば呼ぶ）。テンプレート:Mvar 上のテンプレート:Math-型テンソル全体の成す空間を

$T_n^m(V)=\underset{m\text{ copies}}{\underbrace{V\otimes \dots \otimes V}}\otimes \underset{n\text{ copies}}{\underbrace{V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}}}$

と書いて、テンプレート:Math-型テンソル空間と呼ぶ。テンプレート:Math-型テンソル空間 テンプレート:Math は自然な仕方で テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への線型写像全体の成す空間 テンプレート:Mvar に同型となり、また テンプレート:Mvar 上の双線型形式 テンプレート:Math には自然な仕方で付随する計量テンソル（あるいは少々紛らわしいが単に計量もしくは内積）と呼ばれる テンプレート:Math-型テンソル テンプレート:Math が対応する。

普遍性

テンソル空間 テンプレート:Math は多重線型写像を用いた普遍性によって特徴づけることができる。それによって、多くの線型写像が「自然」あるいは「幾何学的」（つまり基底の取り方に依らない）ことを示す手段が与えられるという点で、この特徴付けは優位である。また、テンソル積は自由加群に対してのみ用いるものではないが、普遍性を用いる方法によればより一般の場合にまで容易に持ち込めるという側面もある。

ベクトル空間の直積（あるいは直和）上で定義された実数値函数

$f:V_1\times V_2\times \cdots \times V_N\to ℝ$

が多重線型であるとは、各引数に関して線型となることをいう。テンプレート:Math から テンプレート:Mvar への テンプレート:Mvar-重線型写像全体の成すベクトル空間を テンプレート:Math と書くことにする。テンプレート:Math のとき テンプレート:Mvar-重線型であることは通常の線型写像となることであり、テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への線型写像全体の成す空間は テンプレート:Math である。テンソル積の普遍性により、各多重線型写像

$f\in L^{m+n}(\underset{m}{\underbrace{V,V,\dots ,V}},\underset{n}{\underbrace{V^{*},V^{*},\dots ,V^{*}}};W)$

に対して線型写像

$T_f\in L(V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*};W)$

が一意に存在して、任意の テンプレート:Math および テンプレート:Math に対して

$f(v_1,\dots ,v_m,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)=T_f(v_1\otimes \cdots \otimes v_m\otimes {\alpha }_1\otimes \cdots \otimes {\alpha }_n)$

が成り立つ。

この普遍性を用いれば、テンプレート:Math-型テンソル空間に対して自然同型

$T_n^m(V)\cong L(V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}\otimes V\otimes \dots \otimes V;ℝ)\cong L^{m+n}(V^{*},\dots ,V^{*},V,\dots ,V;ℝ)$

が得られる。特に、テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math が成り立つ。

テンソルの階数

テンソルの階数 (rank) は線型代数学における行列の階数を拡張するものである（先に述べた次数 (order) もしばしば階数, rank と言ったりするので少々紛らわしいが）。行列の階数は像空間を張るのに必要な列ベクトルの最小数であり、行列 テンプレート:Mvar が二つの非零ベクトルの二項積

$A=v{w}^{\mathrm{\top }}$

に書けるならば、テンプレート:Mvar は階数 テンプレート:Mvar である。より一般に、行列 テンプレート:Mvar の階数はこのような二項積の和

$A=v_1{w}_1^{\mathrm{\top }}+\cdots +v_k{w}_k^{\mathrm{\top }}$

として表すことができるときの右辺の項数の最小値に等しいのであった。同様に階数 テンプレート:Mvar のテンソル（単純テンソル）は テンプレート:Mvar または テンプレート:Math の非零な元 テンプレート:Mvar を用いて

$T=a\otimes b\otimes \cdots \otimes d$

の形に表されるテンソルを言う。これはつまり非零な完全分解可能テンソルである。添字記法で書けば、階数 テンプレート:Math のテンソルとは

$T_{ij\dots }^{k\ell \dots }=a_i{b}_j\cdots c^k{d}^{\ell }\cdots$

なる形のテンソルということになる。任意のテンソルは単純テンソルの和に書くことができ、一般のテンソル テンプレート:Mvar の階数はそれを単純テンソルの和に表すときの項数の最小値として定義される。

テンプレート:仮リンクは階数 テンプレート:Math、次数 テンプレート:Math の非零テンソルは常に階数 テンプレート:Math である。次数 テンプレート:Math 以上の非零テンソルの階数は、それを単純テンソルの和に書いたときに現れるベクトルの最大サイズ未満の全ての値を取り得る。次数 テンプレート:Math のテンソルの階数は、そのテンソルを行列と見做してとった行列の階数に一致するから、ガウスの消去法などから決定することができる。次数 テンプレート:Math 以上のテンソルの階数は決定するのが非常に困難であることがほとんどであり、低階数のテンソル分解は実用上非常に注目される。

テンソルの乗法

テンプレート:See also テンソルのテンソル積と呼ばれる乗法

$T_s^r(V){\otimes }_K{T}_{s^{\prime }}^{r^{\prime }}(V)\to T_{s+s^{\prime }}^{r+r^{\prime }}(V)$

は、両因子に現れる テンプレート:Mvar の元を一纏めにまとめなおすことで定義される。例えば、テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar と双対空間の元 テンプレート:Math に対して

$(v\otimes f)\otimes (v^{\prime })=(v\otimes v^{\prime })\otimes f$

のようにする。

テンプレート:Math の基底とそれに対応する テンプレート:Math の双対基底をとれば、テンプレート:Math は自然な基底を持つから、この基底に関するテンソルのテンソル積の成分を計算することができる。例えば テンプレート:Mvar はそれぞれ階数 テンプレート:Mvar の共変テンソル（つまり、テンプレート:Math, テンプレート:Math）とすれば、これらのテンソル積の成分は

$(F\otimes G{)}_{i_1{i}_2\dots i_{m+n}}=F_{i_1{i}_2\dots i_m}{G}_{i_{m+1}{i}_{m+2}{i}_{m+3}\dots i_{m+n}}$

となり、二つのテンソルのテンソル積の成分は通常の積によって与えられることが分かる。別な例として、テンプレート:Math-型テンソル テンプレート:Mvar の成分を テンプレート:Math, テンプレート:Math-型テンソル テンプレート:Mvar の成分を テンプレート:Math とすれば、これらのテンソル積は成分に関して

$U^{\alpha }{}_{\beta }{V}^{\gamma }=(U\otimes V{)}^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },V^{\mu }{U}^{\nu }{}_{\sigma }=(V\otimes U{)}^{\mu \nu }{}_{\sigma }$

で与えられる。

テンソルの縮約

テンプレート:Main ベクトル空間 テンプレート:Mvar とその双対空間 テンプレート:Math とのテンソル積空間において、自然な「評価」写像

$V\otimes V^{*}\to K;v\otimes f\mapsto f(v)$

が存在する。この評価写像が引き起こすテンソル空間上の写像

$T_s^r(V)\to T_{s-1}^{r-1}(V)$

はテンソルの縮約と呼ばれる。

随伴表現

テンソル空間 テンプレート:Math は対角作用を考えることにより自然にリー代数 テンプレート:Math 上の加群と看做すことができる。すなわち、簡単のため テンプレート:Math とすれば、各 テンプレート:Math に対し

$u(a\otimes b)=u(a)\otimes b-a\otimes u^{*}(b)$

と作用する。ただし、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の転置。テンプレート:Math の自然な内積を用いれば、この作用は

$⟨u(a),b⟩=⟨a,u^{*}(b)⟩$

とも書ける。自然な同型

$T_1^1(V)\to \mathrm{End}(V);(a\otimes b)(x)=⟨x,b⟩a(\mathrm{\forall }x\in V)$

が存在する。この同型の元、任意の テンプレート:Math をまず テンプレート:Math の自己準同型とみたものを、さらに テンプレート:Math の自己準同型と見ることができる。実はそれは テンプレート:Math の随伴表現 テンプレート:Math になる。

参考文献

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