余代数

テンプレート:出典の明記 余代数（よだいすう、テンプレート:Lang-en）とは、単位元を持つ結合代数に対して、圏の双対をとったものをいう。

定義

$K$ を体、$C$ を $K$ 上のベクトル空間とする。2つの線型写像 $\mathrm{\Delta }:C\to C\otimes C$、$\epsilon :C\to K$ が存在して、これらが

1. $(\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes \mathrm{\Delta })\circ \mathrm{\Delta }=(\mathrm{\Delta }\otimes \mathrm{i}\mathrm{d})\circ \mathrm{\Delta }$（余結合律）、
2. $(\mathrm{i}\mathrm{d}\otimes \epsilon )\circ \mathrm{\Delta }=\mathrm{i}\mathrm{d}=(\epsilon \otimes \mathrm{i}\mathrm{d})\circ \mathrm{\Delta }$（余単位律）

を満たすとき、即ち図式

が可換であるとき、組 $(C,\mathrm{\Delta },\epsilon )$ を余代数という。また、$\mathrm{\Delta }$ を余積、$\epsilon$ を余単位という。

諸概念

余代数射

$(C,\mathrm{\Delta },\epsilon )$、$(D,{\mathrm{\Delta }}^{\prime },{\epsilon }^{\prime })$ を $K$-余代数とする。$K$-線型写像 $f:C\to D$ が

${\mathrm{\Delta }}^{\prime }\circ f=(f\otimes f)\circ \mathrm{\Delta },$

${\epsilon }^{\prime }\circ f=\epsilon$

を満たすとき $f$ を余代数射（coalgebra morphism）という。これは以下の図式が可換であることと同値:

部分余代数

$(C,\mathrm{\Delta },\epsilon )$ を余代数、$D\subset C$ とする。$D$ が部分余代数であるとは、$\mathrm{\Delta }(D)\subseteq D\otimes D$ を満たすことをいう。このとき、 $(D,\mathrm{\Delta }{|}_D,\epsilon {|}_D)$ は余代数の構造を持つ。

余イデアル

$I$ を余代数 $(C,\mathrm{\Delta },\epsilon )$ の部分ベクトル空間とする。$I$ が余イデアル（coideal）であるとは

$\mathrm{\Delta }(I)\subseteq I\otimes C+C\otimes I,$

$\epsilon (I)=0$

を満たすことをいう。このとき商 $C/I$ は余代数の構造を持つ。

余可換余代数と逆余代数

写像 $\mathrm{t}\mathrm{w}$ を $\mathrm{t}\mathrm{w}:C\otimes C\to C\otimes C,c\otimes c^{\prime }\mapsto c^{\prime }\otimes c$ で定める。余代数 $(C,\mathrm{\Delta },\epsilon )$ が余可換であるとは、 $\mathrm{t}\mathrm{w}\circ \mathrm{\Delta }=\mathrm{\Delta }$ が成り立つことをいう。ここで新しい余積を ${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{t}\mathrm{w}}=\mathrm{t}\mathrm{w}\circ \mathrm{\Delta }:C\to C\otimes C\to C\otimes C,c\mapsto \sum _i{c}_i^{(2)}\otimes c_i^{(1)}$ によって定めると、$(C,{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{t}\mathrm{w}},\epsilon )$ は余代数になりこれを逆余代数という。余代数が余可換であることと $\mathrm{\Delta }={\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{t}\mathrm{w}}$ となることは同値である。

SweedlerのΣ-記法

$(C,\mathrm{\Delta },\epsilon )$ を余代数とする。$c\in C$ とすると、余積は

$\mathrm{\Delta }(c)=\sum _i{c}^i\otimes {\tilde{c}}^i(c^i,{\tilde{c}}^i\in C)$

と書ける。SweedlerのΣ-記法ではこれを

$\mathrm{\Delta }(c)=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}$

と表す。このとき、総和の記号は省かれる場合がある。この記法を用いると、余結合律と余単位律は以下のようになる:

$\sum c_{(1)(1)}\otimes c_{(1)(2)}\otimes c_{(3)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)(1)}\otimes c_{(2)(2)}=\sum c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}$（余結合律）

$\sum \epsilon \left(c_{(1)}\right)c_{(2)}=\sum c_{(1)}\epsilon \left(c_{(2)}\right)=c$（余単位律）

例

• $S$ を空でない任意の集合、$kS$ を $S$ の元を基底とした $k$-ベクトル空間とする。任意の $s\in S$ に対して余積と余単位を

$\mathrm{\Delta }(s)=s\otimes s,\epsilon (s)=1$

で定めると、$(kS,\mathrm{\Delta },\epsilon )$ は $k$-余代数の構造を持つ。

• $H$ を $K$-ベクトル空間、$\{c_n\mid n\in \mathbb{N}\}$ をその基底とする。任意の $n\in \mathbb{N}$ に対して余積と余単位を

$\mathrm{\Delta }(c_i)=\sum _{i=0}^n{c}_i\otimes c_{n-i},\epsilon (c_i)={\delta }_{0,n}$

で定めると、$(H,\mathrm{\Delta },\epsilon )$ は $k$-余代数の構造を持ち、これを devided power coalgebra という。

• $M_n(K)$ を $n^2$ 次元 $K$-ベクトル空間、$\{e_{ij}{\}}_{1\le i,j\le n}$ をその基底とする。余積と余単位を

$\mathrm{\Delta }(e_{ij})=\sum _k{e}_{ik}\otimes e_{kj},\epsilon (e_{ij})={\delta }_{i,j}$

によって定めると $(M_n(K),\mathrm{\Delta },\epsilon )$ は余代数となっていて、これを matrix coalgebra という。

• $(P,\le )$ を局所有限半順序集合とする。$T=\{(x,y)\in P\times P\mid x\le y\}$ として $V$ を $T$ の元全体を基底として持つ $K$-ベクトル空間とする。任意の $(x,y)\in T$ に対して余積と余単位を

$\mathrm{\Delta }(x,y)=\sum _{x\le z\le y}(x,z)\otimes (z,y),\epsilon (x,y)={\delta }_{x,y}$

で定めると $(P,\mathrm{\Delta },\epsilon )$ は余代数となる。

• $C$ を $K$-ベクトル空間とし、その基底を $\{s,c\}$ とする。余積と余単位を

$\begin{array}{cccc}\mathrm{\Delta }(s)& =s\otimes c+c\otimes s,& \mathrm{\Delta }(c)& =c\otimes c-s\otimes s,\\ \epsilon (s)& =0,& \epsilon (c)& =1\end{array}$

で定めると $(C,\mathrm{\Delta },\epsilon )$ は余代数となり、これを trigonometric coalgebra という。

K-代数とK-余代数の双対空間

$C$ を $K$-余代数、$A$ を $K$-代数、とする。ここで$f,g\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_K(C,A)$ の積を$f\ast g:=m\circ f\otimes g\circ \mathrm{\Delta }$、即ち任意の $c\in C$に対して

$(f\ast g)(c)=\sum f\left(c_{(1)}\right)g\left(c_{(2)}\right)$

で定める。$\mathrm{\Delta }$ が余結合的であることから積 $\ast$ は結合的であることがわかる。この積によって ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_K(A,C)=:C^{\ast }$ は $K$-代数となり、$C$ の双対代数あるいは畳み込み代数という。単位は

$\epsilon \circ u:C\to K\to A,c\mapsto \epsilon (c)1_A$

で与えられる。また$C$ が余可換であることと、全ての可換な $A$ に対して ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_K(A,C)$ が可換であることは同値である。

逆に代数が有限次元の場合、代数の双対として余代数が定義できる。$A$ を有限 $K$-次元代数とすると、準同型写像

$A^{\ast }\otimes A^{\ast }\to (A\otimes A{)}^{\ast },f\otimes g\mapsto [a\otimes b\mapsto f(a)g(b)]$

が存在して $A^{\ast }\otimes A^{\ast }\simeq (A\otimes A{)}^{\ast }$ となる。積と単位の双対

$\begin{array}{cc}{m}^{\ast }& :a\to (A\otimes A{)}^{\ast }\simeq A^{\ast }\otimes A^{\ast },\\ u^{\ast }& :A\to K,f\mapsto f(1)\end{array}$

によって余積と余単位がそれぞれ定義され、余代数の構造が得られる。一般に $A$ が無限次元の場合には、このようにして余代数の構造を持つことはない。

参考文献

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