双代数

数学において，体 テンプレート:Mvar 上の双代数（そうだいすう，テンプレート:Lang-en-short）とは，テンプレート:Mvar 上のベクトル空間であって，単位的結合代数かつ余代数であるようなものである．代数構造と余代数構造はさらなる公理によって整合性を持つ．具体的には，余積と余単位はともに単位的代数の準同型である，あるいは同じことであるが，代数の積と単位射はともに余代数の準同型である．（これらのステートメントは同じ可換図式によって表されるから同値である．）

類似している双代数は双代数準同型によって関連付けられる．双代数の準同型は代数と余代数両方の準同型であるような線型写像である．

可換図式の対称性に反映されているように，双代数の定義は自己双対であり，したがって，テンプレート:Mvar の双対を定義できるならば（テンプレート:Mvar が有限次元ならいつでも可能である），自動的に双代数になる．

形式的な定義

テンプレート:Math が テンプレート:Mvar 上の双代数 (bialgebra) であるとは，以下の性質を満たすことをいう：

• テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar 上のベクトル空間である；
• 2つの テンプレート:Mvar 線型写像（乗法）テンプレート:Math（テンプレート:Mvar 双線型写像 テンプレート:Math と同値である）と（単位射）テンプレート:Math が存在して，テンプレート:Math は単位的結合的代数である；
• 2つの テンプレート:Mvar 線型写像（余積）テンプレート:Math と（余単位射）テンプレート:Math が存在して，テンプレート:Math は（余単位的余結合的）余代数である；
• 以下の可換図式によって表される協調性条件：

1. 乗法 テンプレート:Math と余乗法 テンプレート:Math

   

   ただし テンプレート:Math は テンプレート:Mvar のすべての テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math で定義される線型写像，

2. 乗法 テンプレート:Math と余単位 テンプレート:Mvar

   

3. 余乗法 テンプレート:Math と単位 テンプレート:Mvar

   

4. 単位射 テンプレート:Mvar と余単位射 テンプレート:Mvar

   

余結合性と余単位

[[多重線型写像|テンプレート:Mvar 線型写像]] テンプレート:Math が余結合的とは $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_B\otimes \mathrm{\Delta })\circ \mathrm{\Delta }=(\mathrm{\Delta }\otimes {\mathrm{i}\mathrm{d}}_B)\circ \mathrm{\Delta }$ が成り立つことをいう．

テンプレート:Mvar 線型写像 テンプレート:Math が余単位射であるとは $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_B\otimes ϵ)\circ \mathrm{\Delta }={\mathrm{i}\mathrm{d}}_B=(ϵ\otimes {\mathrm{i}\mathrm{d}}_B)\circ \mathrm{\Delta }$ が成り立つことをいう．

余結合性と余単位射は次の2つの図式の可換性によって表される（それらは代数の結合性と単位元をあらわす図式の双対である）：

協調性の条件

4つの可換図式は「余積と余単位は代数の準同型である」あるいは同じことだが「積と単位射は余代数の準同型である」と読むことができる．

これらの主張は テンプレート:Mvar の他の関係するすべてのベクトル空間における代数と余代数の自然な構造を説明すれば意味が分かる：テンプレート:Math は明らかな方法で単位的結合代数であり，テンプレート:Math は単位的結合代数で，単位射と積は

${\eta }_2:=(\eta \otimes \eta ):K\otimes K\equiv K\to (B\otimes B)$

${\mathrm{\nabla }}_2:=(\mathrm{\nabla }\otimes \mathrm{\nabla })\circ (id\otimes \tau \otimes id):(B\otimes B)\otimes (B\otimes B)\to (B\otimes B)$,

したがって ${\mathrm{\nabla }}_2((x_1\otimes x_2)\otimes (y_1\otimes y_2))=\mathrm{\nabla }(x_1\otimes y_1)\otimes \mathrm{\nabla }(x_2\otimes y_2)$ あるいは テンプレート:Math を省いて積を並置で書いて $(x_1\otimes x_2)(y_1\otimes y_2)=x_1{y}_1\otimes x_2{y}_2$;

同様に，テンプレート:Math は明らかな方法で余代数であり，テンプレート:Math は余代数で余単位と余積は

${ϵ}_2:=(ϵ\otimes ϵ):(B\otimes B)\to K\otimes K\equiv K$

${\mathrm{\Delta }}_2:=(id\otimes \tau \otimes id)\circ (\mathrm{\Delta }\otimes \mathrm{\Delta }):(B\otimes B)\to (B\otimes B)\otimes (B\otimes B)$

である．

すると，図式 1 と 3 は テンプレート:Math は単位的（結合）代数 テンプレート:Math と テンプレート:Math の準同型である

$\mathrm{\Delta }\circ \mathrm{\nabla }={\mathrm{\nabla }}_2\circ (\mathrm{\Delta }\otimes \mathrm{\Delta }):(B\otimes B)\to (B\otimes B)$, あるいは単に Δ(xy) = Δ(x) Δ(y),

$\mathrm{\Delta }\circ \eta ={\eta }_2:K\to (B\otimes B)$, あるいは単に Δ(1_B) = 1_{B ⊗ B}

と言っている；図式 2 と 4 は テンプレート:Math が単位的（結合）代数 テンプレート:Math と テンプレート:Math の準同型であると言っている：

$ϵ\circ \mathrm{\nabla }={\mathrm{\nabla }}_0\circ (ϵ\otimes ϵ):(B\otimes B)\to K$, あるいは単に ε(xy) = ε(x) ε(y)

$ϵ\circ \eta ={\eta }_0:K\to K$, あるいは単に ε(1_B) = 1_K.

同じことだが，図式 1 と 2 は テンプレート:Math が（余単位的余結合）余代数 テンプレート:Math と テンプレート:Math の準同型である：

$\mathrm{\nabla }\otimes \mathrm{\nabla }\circ {\mathrm{\Delta }}_2=\mathrm{\Delta }\circ \mathrm{\nabla }:(B\otimes B)\to (B\otimes B),$

${\mathrm{\nabla }}_0\circ {ϵ}_2=ϵ\circ \mathrm{\nabla }:(B\otimes B)\to K$

と言っていて，図式 3 と 4 は テンプレート:Math は（余単位的余結合）余代数 テンプレート:Math と テンプレート:Math の準同型である：

${\eta }_2\circ {\mathrm{\Delta }}_0=\mathrm{\Delta }\circ \eta :K\to (B\otimes B),$

${\eta }_0\circ {ϵ}_0=ϵ\circ \eta :K\to K$

と言っている．

例

群環

双代数の1つの例は，群 テンプレート:Mvar から テンプレート:Math への関数全体の集合であり，各 テンプレート:Math に対する標準基底ベクトル テンプレート:Math の線型結合からなるベクトル空間 テンプレート:Math として表すことができ，係数がすべて非負で和が 1 のときには テンプレート:Mvar 上の確率分布を表している．余単位的余代数を生じる適切な余積と余単位の例は

$\mathrm{\Delta }({𝐞}_g)={𝐞}_g\otimes {𝐞}_g,\epsilon ({𝐞}_g)=1$

であり（テンプレート:Math 全体には線型性で伸ばす），余積は確率変数のコピーを作ることを表し，余単位は確率変数を「探知する」ことを表す，つまり，（単一のテンソル因子で表される）確率変数の値は忘れて残りの変数上の周辺分布（残りのテンソル因子）を得る．上のような確率変数のことばでの テンプレート:Math の解釈が与えられると，双代数の一貫性の条件は以下のような テンプレート:Math の制約条件に相当する：

1. テンプレート:Mvar はすべてのほかの確率変数とは独立な正規化された確率分布を準備する作用素で，
2. 積 テンプレート:Math は2変数の確率分布を1変数の確率分布に写し，
3. テンプレート:Mvar によって与えられる分布における確率変数をコピーすることは分布 テンプレート:Mvar における2つの独立な確率変数を持つことと同値で，
4. 2つの確率変数の積を取ることと得られる確率変数のコピーを準備することは各確率変数のコピーを互いに独立に準備し対で一緒に掛けるのと同じ分布を持つ．

これらの制約を満たす対 テンプレート:Math は畳み込み作用素

$\mathrm{\nabla }({𝐞}_g\otimes {𝐞}_h)={𝐞}_{gh}$

である；これは2つの確率変数の分布から正規化された確率分布を生み出し，単位元としてデルタ分布 $\eta ={𝐞}_i$ を持つ，ただし i ∈ G は群 テンプレート:Mvar の単位元を表す．

他の例

双代数の他の例にはテンソル代数があり，これは適切な余積と余単位を加えることで双代数にできる．詳細はその記事を参照のこと．

双代数は適切な対合射が見つけられればしばしばホップ代数に拡張できる．したがって，すべてのホップ代数は双代数の例である．積と余積の間に異なる両立性を持つ，あるいは異なるタイプの積と余積を持つ類似の構造には，テンプレート:仮リンクやフロベニウス代数だある．さらなる例はテンプレート:仮リンクの記事で与えられる．

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• フロベニウス代数
• ホップ代数

参考文献

• テンプレート:Citation.