普遍包絡代数

テンプレート:出典の明記 （普遍）包絡代数（ふへんほうらくだいすう、テンプレート:Lang-en-short, テンプレート:Lang-fr-short）あるいは（普遍）展開代数とは、任意のリー代数 $𝔤$ から構成される、ある性質を満たす単位的結合代数 $U(𝔤)$ と準同型写像 $i:𝔤\to U(𝔤)$ の組 $(U(𝔤),i)$ のことをいう。

定義

$𝔤$ を任意のリー代数とする。このとき以下の普遍性質を満たす結合代数 A とリー代数の準同型写像 $i:𝔤\to A$ の組 $(A,i)$ が存在する（A は交換子積によってリー代数とみる）。任意の結合代数 $A^{\prime }$ とリー代数準同型写像 $i^{\prime }:𝔤\to A^{\prime }$ に対し、結合代数の準同型写像 $f:A\to A^{\prime }$ で、$f\circ i=i^{\prime }$ を満たすものが唯一つ存在する。このような $(A,i)$ は同型を除いて一意的に存在し、普遍包絡代数といい、A を $U(𝔤)$ で表す:

構成

$𝔤$ をリー代数、$T(𝔤)$ をそのベクトル空間としてのテンソル代数とする。また、$ℐ$ を $x\otimes y-y\otimes x-[x,y](x,y\in 𝔤)$ が生成する両側イデアルとする。これによって

$U(𝔤)=T(𝔤)/ℐ$

とする。自然な写像 $T(𝔤)\to U(𝔤)$ を $𝔤$ に制限して $i:𝔤\to U(𝔤)$ が定まり、$(U(𝔤),i)$ は普遍包絡代数になる。

関連項目

• テンプレート:仮リンク

参考文献

• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:Nlab
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:SpringerEOM