正則ベクトル束

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数学において，正則ベクトル束（せいそくベクトルそく，テンプレート:Lang-en-short）とは，複素多様体テンプレート:Mvar 上の複素ベクトル束であって，全空間テンプレート:Mvar が複素多様体であり射影テンプレート:Math が正則であるようなものである．基本的な例は複素多様体の正則接束とその双対正則余接束である．正則直線束 (holomorphic line bundle) は階数が 1 の正則ベクトル束である．

セールの GAGA により，滑らかな複素射影多様体テンプレート:Mvar（複素多様体と見る）上の正則ベクトル束の圏は，テンプレート:Mvar 上のテンプレート:仮リンク（すなわち階数が有限の局所自由層）の圏と同値である．

自明化を通した定義

具体的には，局所自明化写像

ϕ_{U} : π^{- 1} (U) \to U \times 𝐂^{k}

は双正則であることを要求する．これは変換関数

t_{U V} : U \cap V \to {GL}_{k} (𝐂)

が正則であると要求することと同値である．複素多様体の接束上の正則構造は，ベクトル値正則関数の（適切な意味での）微分がそれ自身正則であることに注意すると保証される．

正則切断の層

テンプレート:Mvar を正則ベクトル束とする．局所切断 テンプレート:Math が正則 (holomorphic) であるとは，それがテンプレート:Mvar の各点の近傍においてある（同値だが任意の）自明化において正則であることをいう．

この条件は局所的である，つまり正則切断たちはテンプレート:Mvar 上の層をなす．この層は $𝒪 (E)$ と書かれることがある．そのような層は必ずベクトル束と同じ階数の局所自由である．テンプレート:Mvar が自明な直線束 $\underline{𝐂}$ であるとき，この層は複素多様体テンプレート:Mvar の構造層 $𝒪_{X}$ と一致する．

正則ベクトル束に値を持つ形式の層

$ℰ_{X}^{p, q}$ でテンプレート:Math 型のテンプレート:Math 微分形式の層を表すと，テンプレート:Mvar に値を持つテンプレート:Math 型形式の層はテンソル積

ℰ^{p, q} (E) ≜ ℰ_{X}^{p, q} \otimes E

として定義できる．

これらの層は細層である，つまり1の分割を持つ．

滑らかなベクトル束と正則ベクトル束の間の基本的な差異は，後者にはテンプレート:仮リンクと呼ばれる標準的な微分作用素

\overline{\partial} : ℰ^{p, q} (E) \to ℰ^{p, q + 1} (E)

が存在することである．それは局所座標において反正則微分を取ることによって得られる．

正則ベクトル束のコホモロジー

テンプレート:Mvar が正則ベクトル束であるとき，テンプレート:Mvar のコホモロジーは $𝒪 (E)$ の層係数コホモロジーと定義される．とくに，

H^{0} (X, 𝒪 (E)) = Γ (X, 𝒪 (E)),

テンプレート:Mvar の大域正則切断の空間，となる．また， $H^{1} (X, 𝒪 (E))$ はテンプレート:Mvar によるテンプレート:Mvar の自明直線束の拡大，つまり，正則ベクトル束の完全列テンプレート:Math, の群をパラメトライズする．群構造については，テンプレート:仮リンクやテンプレート:仮リンクも参照．

ピカール群

複素微分幾何の文脈では，複素多様体テンプレート:Mvar のピカール群テンプレート:Math は，正則直線束の同型類の群であって，積はテンソル積，逆元は双対である．それは消えない正則関数の層の一次コホモロジー群 $H^{1} (X, 𝒪_{X}^{*})$ として定義することもできる．

正則ベクトル束上のエルミート計量

テンプレート:See also テンプレート:Mvar を複素多様体テンプレート:Mvar 上の正則ベクトル束とし，テンプレート:Mvar 上にエルミート計量が存在するとする，つまり，ファイバーテンプレート:Mvar に滑らかに変化する内積テンプレート:Math が備わっているとする．すると複素構造と計量構造の両方と両立するテンプレート:Mvar 上の接続テンプレート:Math が一意的に存在する．つまり，テンプレート:Math が次のような接続である：

(1) テンプレート:Mvar の任意の滑らかな切断テンプレート:Mvar に対して，

p \nabla s = \bar{\partial} s

ただしテンプレート:Mvar はテンプレート:仮リンクのテンプレート:Math 成分を取る．

(2) テンプレート:Mvar の任意の滑らかな切断テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar とテンプレート:Mvar 上のベクトル場テンプレート:Mvar に対し，

X \cdot ⟨ s, t ⟩ = ⟨ \nabla_{X} s, t ⟩ + ⟨ s, \nabla_{X} t ⟩

ただしテンプレート:Mvar による

\nabla s

の contraction を

\nabla_{X} s

と書いた．（これはテンプレート:Math によるテンプレート:仮リンクが計量テンプレート:Math を保存すると言っても同じである．）

実際，テンプレート:Math が正則枠であるとき， $h_{i j} = ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩$ とし，テンプレート:Mvar を等式 $\sum h_{i k} {(ω_{u})}_{j}^{k} = \partial h_{i j}$ によって定義する．この等式をより単純に次のように書く：

ω_{u} = h^{- 1} \partial h .

テンプレート:Math を基底の正則な変換テンプレート:Mvar による別の枠とすると，

ω_{u^{'}} = g^{- 1} d g + g ω_{u} g^{- 1}

であり，したがってテンプレート:Mvar は確かに接続形式であって，テンプレート:Math によってテンプレート:Math を生じる．今， ${\overline{ω}}^{T} = \overline{\partial} h \cdot h^{- 1}$ であるから，

d ⟨ e_{i}, e_{j} ⟩ = \partial h_{i j} + \overline{\partial} h_{i j} = ⟨ ω_{i}^{k} e_{k}, e_{j} ⟩ + ⟨ e_{i}, ω_{j}^{k} e_{k} ⟩ = ⟨ \nabla e_{i}, e_{j} ⟩ + ⟨ e_{i}, \nabla e_{j} ⟩ .

つまり，テンプレート:Math は計量構造と両立する．最後に，テンプレート:Mvar はテンプレート:Math 形式であるから， $\nabla s$ のテンプレート:Math 成分は $\bar{\partial} s$ である．

$Ω = d ω + ω \land ω$ をテンプレート:Math の曲率形式とする． $p \nabla = \bar{\partial}$ は二乗して零になるから，テンプレート:Math はテンプレート:Math 成分を持たず，テンプレート:Math は歪エルミートであることが容易に示せるから^[1]，それはまたテンプレート:Math 成分ももたない．したがって，テンプレート:Math は次で与えられるテンプレート:Math 形式である：

Ω = \bar{\partial} ω .

曲率テンプレート:Math は正則ベクトル束の高次コホモロジーの消滅定理，例えば小平の消滅定理やテンプレート:仮リンク，において顕著に現れる．

脚注

テンプレート:Reflist

参考文献

関連項目

外部リンク

http://mathoverflow.net/questions/87719/splitting-principle-for-holomorphic-vector-bundles/

↑ 例えば，テンプレート:Mvar 上のエルミート計量の存在は，枠束の構造群がユニタリ群に帰着され，テンプレート:Math がこのユニタリ群のリー環（歪エルミート行列からなる）に値を持つことを意味する．

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