双対ベクトル空間

数学におけるベクトル空間の双対ベクトル空間（そうついベクトルくうかん、テンプレート:Lang-en-short）あるいは単に双対空間（そうついくうかん、テンプレート:Lang-en-short）は、そのベクトル空間上の線型汎函数（一次形式）全体の成す空間として定義される。有限次元ベクトル空間の双対空間はテンソルの研究に利用することができる。函数の成す（典型的には無限次元の）ベクトル空間に対する双対空間は、測度や超函数、あるいはヒルベルト空間のような概念の定義や研究に用いられ、結果として双対空間は函数解析学の研究における重要な観念となっている。

一般に双対空間には、代数的双対と連続的双対の二種類が用いられており、代数的双対は任意のベクトル空間に対して定義することができるが、位相線型空間を扱うときは代数的双対よりもその部分線型空間として、連続線型汎函数全体の成す連続的双対空間を考えるのが自然である。

双対空間

体 テンプレート:Mvar 上の任意のベクトル空間 テンプレート:Mvar の（代数的）双対空間 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の線型写像 テンプレート:Math（すなわち線型汎函数）全体の成す集合として定義される。集合としての テンプレート:Math には、次の加法とスカラー乗法

$\begin{array}{cc}& (\phi +\psi )(x)=\phi (x)+\psi (x),\\ & (a\phi )(x)=a(\phi (x))\end{array}(\phi ,\psi \in V^{*},x\in V,a\in F)$

を定義することができて、それ自身 テンプレート:Mvar 上のベクトル空間となる。この代数的双対空間 テンプレート:Math の元を、余ベクトル（共変ベクトル）あるいは一次形式（（代数的）1-形式）と呼ぶこともある。

双対空間 テンプレート:Math の元である汎函数 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の元との対をしばしば括弧を用いて テンプレート:Mathテンプレート:Sfn あるいは テンプレート:Mathテンプレート:Sfnで表す。この対の記法は非退化な双線型形式テンプレート:Efn テンプレート:Math を定める。このとき、テンプレート:Math は テンプレート:Math と テンプレート:Mvar との間に双対性を定める、テンプレート:Math と テンプレート:Mvar を双対にする、あるいは テンプレート:Mvar と テンプレート:Math の双対性を表す内積 テンプレート:Lang であると言う。

有限次元の場合

テンプレート:Mvar が有限次元ならば、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar と同じ次元を持つ。テンプレート:Mvar の基底 テンプレート:Math から双対基底と呼ばれる特別な テンプレート:Math の基底を定義することができる。それは テンプレート:Mvar 上の線型汎函数の集合 テンプレート:Math で、係数 テンプレート:Math の選び方に依らず

${𝐞}^i(c_1{𝐞}_1+\cdots +c_n{𝐞}_n)=c_i(i=1,\dots ,n)$

を満たすものとして定義される（上付きの添字が冪を意味するものではないことに注意せよ）。特に、一つの係数を テンプレート:Math, 残りをすべて テンプレート:Math とすることにより、関係式は

${𝐞}^i({𝐞}_j)={\delta }_{ij}$

に帰着される。ここに テンプレート:Mvar はクロネッカーのデルタである。例えば テンプレート:Mvar が座標平面 テンプレート:Math でその標準基底 テンプレート:Math} に選べば、テンプレート:Math は テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math, テンプレート:Math を満たす線型形式である。

特に テンプレート:Math を実数を成分とする テンプレート:Mvar-項「列」ベクトル全体の成す空間と見做すとき、その双対空間は典型的には実数を成分とする テンプレート:Mvar-項「行」ベクトル全体の成す空間として書かれ、その テンプレート:Math への作用が通常の行列の積によって与えられるものと見做すことができる。

テンプレート:Mvar が平面上の幾何学的なベクトル（有向線分）からなる空間であるとき、テンプレート:Math の元の等位曲線は テンプレート:Mvar の平行線の族からなる。故に テンプレート:Math の元は直観的には平面を被覆する特定の平行線族と見做すことができる。このとき、与えられたベクトルにおける汎函数の値を計算するには、そのベクトルが平行線族のどの線上にあるかを知るだけでよい。イメージとしては、そのベクトルが何本の平行線と交わるかを数えればよいことになる。より一般に、テンプレート:Mvar を任意有限次元のベクトル空間とするとき、テンプレート:Math に属する線型汎函数の等位集合は テンプレート:Mvar の平行超平面族であり、汎函数の各ベクトルにおける値はこれら超平面を用いて理解することができるテンプレート:Sfn。

無限次元の場合

ベクトル空間 テンプレート:Mvar が有限次元でない場合にも適当な無限集合 テンプレート:Mvar で添字付けられる基底 テンプレート:Math は持つテンプレート:Efnから、有限次元の場合と同様の構成によって、双対空間の線型独立な元の族 テンプレート:Math を作ることはできるが、これは必ずしも基底とならない。

例えば、有限個の例外を除く全ての成分が テンプレート:Math であるような実数列全体の成す空間 テンプレート:Math を考えると、これは自然数全体の成す集合 テンプレート:Math で添字付けられる標準基底、すなわち各 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math は第 テンプレート:Mvar-項が テンプレート:Math で他はすべて テンプレート:Math となるようなものを持つ。テンプレート:Math の双対空間は全ての実数列からなる空間 テンプレート:Math である。数列 テンプレート:Math の テンプレート:Math への作用は テンプレート:Math で与えられる（これは テンプレート:Math の非零項が有限個しかないことから有限和である）。テンプレート:Math の次元は可算無限だが、テンプレート:Math の次元は非可算である。

このような考察は任意の体 テンプレート:Mvar 上の任意のテンプレート:Efn無限次元ベクトル空間に対して一般化できる。基底 テンプレート:Math を一つとって テンプレート:Mvar を テンプレート:Math は有限個の例外を除く全ての テンプレート:Math に対して テンプレート:Math となるような写像 テンプレート:Math 全体の成す空間 テンプレート:Math と同一視すれば、写像 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar のベクトル テンプレート:Math と同一視される（テンプレート:Mvar の仮定からこれは有限和だから意味を持ち、また基底の定義により任意の テンプレート:Math はこの形に書ける）。

そして テンプレート:Mvar の双対空間は テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への写像全体の成す空間 テンプレート:Mvar に同一視される。実際、テンプレート:Mvar 上の線型汎函数 テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の基底におけるその値 テンプレート:Math によって一意に決定され、また任意の写像 テンプレート:Math (テンプレート:Math) は

$T\left(\sum _{\alpha \in A}{f}_{\alpha }{𝐞}_{\alpha }\right)=\sum _{\alpha \in A}{f}_{\alpha }T(e_{\alpha })=\sum _{\alpha \in A}{f}_{\alpha }{\theta }_{\alpha }$

と置くことにより テンプレート:Mvar 上の線型汎函数 テンプレート:Mvar を定める（テンプレート:Mvar は有限個の テンプレート:Mvar を除いて全て テンプレート:Math だから、やはりこの和が有限であることに注意）。

テンプレート:Math は テンプレート:Mvar をそれ自身 テンプレート:Mvar 上一次元のベクトル空間と見做したものの テンプレート:Mvar で添字付けられた無限個のコピーの直和と（本質的には定義によって）同一視できる。即ち線型同型

$V\cong (F^A{)}_0\cong \underset{\alpha \in A}{⨁}F$

が存在する。他方 テンプレート:Mvar は（やはり定義によって）テンプレート:Mvar で添字付けられる テンプレート:Mvar の無限個のコピーのテンプレート:仮リンクに同型である。同一視

$V^{*}\cong (\underset{\alpha \in A}{⨁}F{)}^{*}\cong \prod _{\alpha \in A}{F}^{*}\cong \prod _{\alpha \in A}F\cong F^A$

は加群の直積と直和に関する一般の場合の結果の特別の場合である。

従って無限次元のとき、代数的双対は必ずもとの空間よりも大きな次元を持つ。これは連続的双対の場合には無限次元の場合でももとの空間と同型となる場合があることと対照的である。

双線型な乗法と双対空間

テンプレート:Mvar が有限次元のとき、テンプレート:Mvar はその双対 テンプレート:Math とは同型であるが、それらの間に自然な同型は存在しないテンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar 上の任意の双線型形式 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar から双対 テンプレート:Math への写像

$v\mapsto ⟨v,\bullet ⟩$

を与える。この右辺は 各 テンプレート:Math をスカラー テンプレート:Math へ写す テンプレート:Mvar 上の線型汎函数である。即ち、双線型形式は線型写像

${\mathrm{\Phi }}_{⟨\bullet ,\bullet ⟩}:V\to V^{*};[{\mathrm{\Phi }}_{⟨\bullet ,\bullet ⟩}(v),w]=⟨v,w⟩$

を定義するのである。もとの双線型形式が非退化ならば、この線型写像は テンプレート:Math の中への同型を与える。特に テンプレート:Mvar が有限次元ならば テンプレート:Math の上への同型である。逆に、テンプレート:Mvar から テンプレート:Math の部分集合（あるいは テンプレート:Math 全体）への任意の同型 テンプレート:Math は、

$⟨v,w{⟩}_{\mathrm{\Phi }}=(\mathrm{\Phi }(v))(w)=[\mathrm{\Phi }(v),w]$

と置くことにより、テンプレート:Mvar 上の非退化双線型形式 テンプレート:Math を一意的に定める。従って、テンプレート:Mvar から テンプレート:Math の部分集合（あるいは テンプレート:Math 全体）への同型写像と テンプレート:Mvar 上の非退化双線型形式との間には一対一対応が存在する。

ベクトル空間 テンプレート:Mvar が複素線型ならば、双線型形式よりも半双線型形式を考えたほうが自然なこともある。この場合、半双線型形式 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar からその双対空間のテンプレート:仮リンクへの線型写像

${\mathrm{\Phi }}_{⟨\bullet ,\bullet ⟩}:V\to \overline{V^{*}}$

を定める。共軛空間 テンプレート:Math は加法的複素数値函数 テンプレート:Math で

$f(\alpha v)=\bar{\alpha }f(v)$

を満たすもの全体の成すベクトル空間と同一視される。

二重双対空間への単射

ベクトル空間 テンプレート:Mvar からその二重双対 テンプレート:Math への標準的な（自然な）線型準同型 テンプレート:Math が

$(\mathrm{\Psi }(v))(\varphi ):=\varphi (v),(v\in V,\varphi \in V^{*})$

と置くことにより定まる。この写像 テンプレート:Math は必ず単射になるテンプレート:Efn。これが同型となるのは テンプレート:Mvar が有限次元のとき、かつそのときに限る。実際、ベクトル空間とその二重双対との間の、この同型写像は自然同型の原型的な例となっている。無限次元のヒルベルト空間は、代数的な二重双対ではなく、連続的な二重双対に同型なので、この反例にはならない。

線型写像の転置写像

テンプレート:Main 線型写像 テンプレート:Math に対し、その転置（または双対）テンプレート:Math は

$f^{*}(\phi )=\phi \circ f(\phi \in W^{*})$

で定義される。得られた汎函数 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar に沿った引き戻しと呼ばれる。

任意の テンプレート:Math および テンプレート:Math に対し恒等式

$[f^{*}(\phi ),v]=[\phi ,f(v)]$

が満足される。ここで左辺の括弧 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar とその双対との双対性を表す内積であり、右辺のは テンプレート:Mvar とその双対との双対性を表す内積である。この等式は転置を特徴づけるテンプレート:Sfnものであり、形の上では随伴の定義と同じである。

対応 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への線型作用素の空間から テンプレート:Math から テンプレート:Math への線型写像の空間への単射線型写像を与える。この線型準同型が同型となるのは テンプレート:Mvar が有限次元のときであり、かつそのときに限る。テンプレート:Math の場合には、先の線型写像の空間は実際は写像の合成に関して多元環を成し、先の対応は多元環のテンプレート:仮リンク、即ち テンプレート:Math を満たす線型同型となる。圏論の言葉で言えば、ベクトル空間の双対と線型写像の転置をとる操作は、テンプレート:Mvar 上のベクトル空間の圏 テンプレート:Math からそれ自身への反変函手である。このとき、転置の転置 テンプレート:Math が二重双対空間への自然な単射によって テンプレート:Mvar と同一視されていることに注意。

線型写像 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar の基底に関して行列 テンプレート:Mvar で表すとき、テンプレート:Math は テンプレート:Math および テンプレート:Math の双対基底に関して転置行列 テンプレート:Math によって表され、転置写像の名の由来となっている。あるいはまた テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar が左から列ベクトルに作用すると見るとき、テンプレート:Math は同じ行列によって右から行ベクトルに作用するものと表現することができる。これらの観点は テンプレート:Math 上の標準内積をもちいて関係づけることができ、行ベクトルの空間は列ベクトルの空間の双対と同一視される。

商空間と零化域

テンプレート:Mvar 上のベクトル空間 テンプレート:Mvar の部分集合 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar の テンプレート:Math における零化域 テンプレート:Math は、任意の テンプレート:Math に対して テンプレート:Math を満たす線型汎函数 テンプレート:Math 全体の成す集合と定義される。すなわち、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar への制限が消えているような線型汎函数 テンプレート:Math 全てからなる。

部分集合の零化域はそれ自身がベクトル空間を成す。特に、空集合の零化域は（テンプレート:仮リンクから）テンプレート:Math 自身 (テンプレート:Math)であり、また テンプレート:Math の零化域は零部分空間 (テンプレート:Math) である。さらに言えば、テンプレート:Mvar の部分空間にその零化域を対応させることは包含関係を逆にする操作、すなわち部分空間の包含列 テンプレート:Math に対し

$0\subset T^{\circ }\subset S^{\circ }\subset V^{*}$

が成り立つ。また、テンプレート:Mvar の二つの部分集合 テンプレート:Mvar に対し

$(A\cap B{)}^{\circ }\supseteq A^{\circ }+B^{\circ }$

が成り立ち、テンプレート:Mvar が有限次元のときはこれは等号で成り立つ。これはさらに適当な添字集合 テンプレート:Mvar で添字付けられる テンプレート:Mvar の任意の有限部分集合族 テンプレート:Mvar に対して

$(\bigcup _{i\in I}{A}_i{)}^{\circ }=\bigcap _{i\in I}{A}_i^{\circ }$

が成り立つから、特に テンプレート:Mvar の部分集合 テンプレート:Mvar に対して

$(A+B{)}^{\circ }=A^{\circ }\cap B^{\circ }$

となることを導く。

有限次元ベクトル空間 テンプレート:Mvar とその部分空間 テンプレート:Mvar に対し、二重双対の自然な同型 テンプレート:Math による テンプレート:Mvar の像を テンプレート:Mvar と同一視するとき

$W^{\circ \circ }=W$

が成り立つ。従って特に、零化域をとる操作は有限次元ベクトル空間の部分空間束上のテンプレート:仮リンクを定める。

テンプレート:Mvar の部分空間 テンプレート:Mvar に対し、商空間 テンプレート:Math はそれ自身ベクトル空間であり、その双対を考えることができる。第一同型定理によれば、汎函数 テンプレート:Math が テンプレート:Math 上の汎函数を誘導するのは テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の核に含まれるとき、かつそのときに限るから、同型

$(V/W{)}^{*}\cong W^{\circ }$

が導かれる。特に、テンプレート:Mvar が二つの部分空間 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar との直和に分解されるとき、テンプレート:Math は テンプレート:Math と テンプレート:Math の直和に分解される。

関連項目

• 双対性
• 逆格子: 結晶学における双対基底
• ベクトルの共変性と反変性
• ベクトル空間の双対系

参考文献

• テンプレート:Citation
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• テンプレート:Lang Algebra
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