転置写像

線型代数学におけるベクトル空間の間の線型写像の転置（てんち、テンプレート:Lang-en-short）は、各ベクトル空間の双対空間の間に誘導される。そのような転置写像 (transpose of a linear map) はもとの線型写像を知るためにしばしば有用である。この概念は随伴函手によって一般化することができる。

定義

同じ係数体 テンプレート:Mvar 上のベクトル空間 テンプレート:Mvar と線型写像 テンプレート:Math があるとき、その転置 (transpose)テンプレート:Sfn または双対 (dual), 随伴 (adjoint)テンプレート:Sfn は

${}^{t}f:W^{*}\to V^{*};\phi \mapsto \phi \circ f$

と定義される。得られる汎函数 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar に沿ったテンプレート:仮リンク と言う。

この転置は以下の等式: 任意の テンプレート:Math および テンプレート:Math に対して

$[{}^{t}f(\phi ),v{]}_V=[\phi ,f(v){]}_W(\mathrm{\forall }\phi \in W^{*},v\in V)$

によって特徴付けられるテンプレート:Sfn。ただし、括弧 テンプレート:Math および テンプレート:Math はそれぞれ テンプレート:Mvar と テンプレート:Math および テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の間の自然な双対性である。

性質

対応 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar から テンプレート:Mvar への線型作用素全体の成す空間 テンプレート:Math と テンプレート:Math から テンプレート:Math テンプレート:Math の間の単射線型写像を与える。この準同型が同型なるための必要十分条件は テンプレート:Mvar が有限次元なることである。テンプレート:Math ならば線型写像の空間 テンプレート:Math は写像の合成のもとで線型環を成し、上記の対応は線型環のテンプレート:仮リンク、つまり テンプレート:Math となる。圏論の言葉では、ベクトル空間の双対と線型写像の転置をとる操作は テンプレート:Mvar 上のベクトル空間の圏からそれ自身への反変函手である。二重双対への自然な入射を用いて テンプレート:Math と テンプレート:Mvar が同一視できることに注意。

• 線型写像 テンプレート:Math および テンプレート:Math に対し テンプレート:Math が成り立つテンプレート:Sfn
• テンプレート:Math は線型写像とし、部分集合 テンプレート:Math, テンプレート:Math および "°" は各部分集合の極集合を意味するものとすれば以下が成り立つテンプレート:Sfn
  • テンプレート:Math,
  • テンプレート:Math ならば テンプレート:Math.

行列表現

テンプレート:Mvar の基底をそれぞれとり、線型写像 テンプレート:Mvar が行列 テンプレート:Mvar で表現されているとき、テンプレート:Math の基底は双対基底をとれば、転置写像 テンプレート:Mvar は 転置行列 テンプレート:Mvar で表現される（ゆえにこの名がある）。別な言い方として、テンプレート:Mvar が列ベクトルに左から作用する行列 テンプレート:Mvar で表現されるとき、転置 テンプレート:Mvar は行ベクトルに右から作用する同じ行列 テンプレート:Mvar で表現される。これら二つの観点は、テンプレート:Math の標準内積によって、列ベクトル空間を行ベクトル空間の双対と同一視すれば同じことを言っている。

エルミート随伴との関係

テンプレート:Main 転置を特徴付ける恒等式 テンプレート:Math は、形の上では作用素の随伴の定義と同じであるが、転置と随伴は同じではない。その大きな違いは、転置が双線型形式であるのに対し、随伴は半双線型形式を定めることである。さらに言えば、転置が任意のベクトル空間に対して定まるのに対し、随伴はヒルベルト空間に対して定まる点も異なる。

ヒルベルト空間 テンプレート:Mvar と線型写像 テンプレート:Math に対し、テンプレート:Mvar の転置 テンプレート:Mvar と随伴 テンプレート:Math は関係がある。テンプレート:Math および テンプレート:Math をそれぞれ、ヒルベルト空間 テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar のそれぞれの双対空間への自然な反線型等距同型とすれば、テンプレート:Math は写像の合成

$Y\stackrel{J}{\to }{Y}^{*}\stackrel{{}^{t}u}{\to }{X}^{*}\stackrel{I^{-1}}{\to }X$

に等しいテンプレート:Sfn。

函数解析学への応用

位相線型空間 テンプレート:Mvar と線型写像 テンプレート:Math に対し、テンプレート:Mvar の性質の多くは随伴 テンプレート:Math に反映する。

• テンプレート:Math および テンプレート:Math はともに弱閉凸集合で テンプレート:Math を含むとすれば、テンプレート:Math ならば テンプレート:Math が成り立つテンプレート:Sfn。
• テンプレート:Mvar の核空間は、テンプレート:Mvar の値域 テンプレート:Math に直交する テンプレート:Math の部分空間であるテンプレート:Sfn。
• テンプレート:Mvar が単射となるための必要十分条件は、テンプレート:Mvar の値域 テンプレート:Math が弱閉となることであるテンプレート:Sfn。

関連項目

• 随伴函手
• エルミート随伴
• 双対空間
• 転置行列

参考文献

• テンプレート:Citation
• テンプレート:Cite book
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