ユークリッド環

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数学の特に抽象代数学および環論におけるユークリッド整域（ユークリッドせいいき、テンプレート:Lang-en-short）あるいはユークリッド環（ユークリッドかん、テンプレート:Lang-en-short）とは、「ユークリッド写像（次数写像）」とも呼ばれるある種の構造を備えた環で、そこではユークリッドの互除法を適当に一般化したものが行える。この一般化された互除法は整数に対するもともとの互除法アルゴリズムとほとんど同じ形で行うことができ、任意のユークリッド環において二元の最大公約数を求めるのに適用できる。特に、任意の二元に対してそれらの最大公約数は存在し、それら二元の線型結合として書き表される（ベズーの等式）。また、ユークリッド環の任意のイデアルは主イデアル（つまり、単項生成）であり、したがって算術の基本定理の適当な一般化が成立する。すなわち、任意のユークリッド環は一意分解環である。

ユークリッド環のクラスをより大きな主イデアル環 (PID) のクラスと比較することには大いに意味がある。勝手な PID はユークリッド環（あるいは実際には有理整数環を考えるので十分だが）と多くの「構造的性質」を共有しているが、しかしユークリッド環には明示的に与えられるユークリッド写像から得られる具体性があるのでアルゴリズム的な応用に有用である。特に、有理整数環や体上一変数の任意の多項式環が容易に計算可能なユークリッド写像を持つユークリッド環となることは、計算代数において基本的に重要な事実である。

そういったことから、整域 テンプレート:Mvar が与えられたとき、テンプレート:Mvar がユークリッド写像を持つことがわかるとしばしば非常に便利なのである。特に、そのとき テンプレート:Mvar が PID であることが分かるが、しかし一般にはユークリッド写像の存在が「明らか」でないときに テンプレート:Mvar が PID かどうかを決定する問題は、それがユークリッド環であるかどうかの決定よりも容易である。

テンプレート:Commutative ring classes

動機付け

整数全体の成す集合 テンプレート:Mathbf に自然な演算として加法 テンプレート:Math と乗法 テンプレート:Math を考える。よく知られた整数に対する長除法は、テンプレート:Mathbf における次の事実に強く依拠したものである：

除法の原理
「整数 テンプレート:Mvar と テンプレート:Math でない整数 テンプレート:Mvar が与えられたとき、テンプレート:Math を満たす整数の対 テンプレート:Math が存在して、さらにそのようなものの中に テンプレート:Math または テンプレート:Math を満たすものが取れる」

テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar が正である場合のみを考えることにすれば、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar に関する制約条件は、単に「テンプレート:Math または テンプレート:Math」と表すことができる。

任意の環にも加法と乗法の概念があるから、長除法の概念が任意の環で展開できないかを考えるのはある意味で自然なことだが、しかし剰余や商に関する条件（つまり「テンプレート:Math または テンプレート:Math」）を単なる環の文脈で定義することは（もちろん、環上に何らの順序関係も定義されていないので）容易にはできない。こうして、各元に加法単位元 テンプレート:Math からの「距離」を導く（「次数」や「賦値」などとも呼ばれる）ある種のノルムテンプレート:Efnテンプレート:Mvar を備えた環としてのユークリッド環の概念が導かれる。そうして、制約条件「テンプレート:Math または テンプレート:Math」は「テンプレート:Math または テンプレート:Math」で置き換わる。

ユークリッド環の裏にある本質的な考え方は、それが環であって「その任意の元 テンプレート:Mvar と任意の非零元 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar の倍元の中に テンプレート:Mvar に十分近い元が存在する」という性質を持つということである。もちろん、その環が可除環（あるいは体）であったならば、テンプレート:Math を倍率として左から テンプレート:Mvar に掛ければ テンプレート:Mvar が得られる。つまり、体や可除環については テンプレート:Mvar に「ちょうど」一致するような テンプレート:Mvar の倍元が存在する。もちろんこのことは一般の環では成立するとは限らない（例えば整数環 テンプレート:Mathbf では成り立たない）から、制約条件は「テンプレート:Mvar の倍元の中に テンプレート:Mvar に十分近い元が存在する」というだけに緩めるのである。

自然な問いとして「次数はどのような集合に値を取るのか」という問題が考えられるが、多くの目的で（特にユークリッドの互除法が自由にできるという目的で）、自然数全体の成す集合 テンプレート:Mathbf に値をとるものと定めるのが普通である。自然数全体の成す集合 テンプレート:Mathbf の持つ、この文脈で重要になる性質は、それが整列集合を成すことである。

定義

テンプレート:Mvar を整域とする。テンプレート:Mvar 上のユークリッド函数 テンプレート:Math は除法の原理

(テンプレート:Vanc)
テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の元で、テンプレート:Mvar は零でないとすると、テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar で、テンプレート:Math, かつ テンプレート:Math または テンプレート:Math のいずれかを満たすようなものが存在する

を満たす。少なくとも一つのユークリッド函数を備えた整域をユークリッド環と呼ぶ。ここで、ユークリッド環の構造が「特定」のユークリッド函数を持つことを要求していないことに注意すべきである。一般に一つのユークリッド環が複数のユークリッド函数を持ちうるが、そのようなものはどれでも一つあればよいのである。

多くの代数学の教科書では、ユークリッド函数がさらに次のような性質

(テンプレート:Vanc)
ともに零元でない テンプレート:Mvar の任意の二元 テンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math が成立する。

をも満たすことを仮定している[1]。しかし、これは次のような意味で冗長である[2]：

条件 (EF1) を満たす テンプレート:Mvar を備えた任意の整域 テンプレート:Mvar に対して、(EF1) および (EF2) をともに満たす テンプレート:Math が取れる。

実際 テンプレート:Mathに対して テンプレート:Math を

f(a)=minx∈R∖{0}g(xa)

のように定めればこの テンプレート:Mvar は条件を満たすテンプレート:Harv。言葉で書けば、テンプレート:Math の値として、テンプレート:Mvar が生成する主イデアルの非零元全体の成す集合上での テンプレート:Mvar の最小値を与えるのである。

定義に関する注意

「ユークリッド函数」[3]と言うかわりに「次数」、「賦値」[4]、「ゲージ函数」、「ノルム」[5]などといったような用語を用いているものも多いテンプレート:Citation needed（特に名称を提示せず、単に条件を満たす写像/函数とだけ言っている場合も少なくないが）。

ユークリッド函数の定義として任意の整列集合に値を取ることを許して一般化する場合もある[6]。このように条件を弱めても、ユークリッド性の最も重要な部分には何も影響しない。またユークリッド函数の定義域から零元 テンプレート:Math を抜かず テンプレート:Mvar 全体で定義されることを仮定する文献もある。この場合、例えば一変数多項式環 テンプレート:Math に対して通常の次数函数 テンプレート:Math は（ユークリッド函数の値域を テンプレート:Mathbf とするとそのままでは使えないが）零多項式 テンプレート:Math の次数 テンプレート:Math を最小値として付与した テンプレート:Math に値をとるユークリッド函数にはなるテンプレート:Sfn。

条件 (EF1) を次のような形に書きなおすこともできる：

テンプレート:Mvar の任意の非零元 テンプレート:Mvar が生成する主イデアル テンプレート:Math に対して、剰余環 テンプレート:Mvar の零でない同値類は必ず テンプレート:Math を満たす代表元 テンプレート:Mvar を含む。

テンプレート:Mvar の取りうる値は整列順序付けられているから、テンプレート:Mvar に属さない元 テンプレート:Mvar のうち、それが属する同値類において テンプレート:Math の値が最小となるものだけについて、必ず テンプレート:Math が成り立っていることを示せば、この条件が満たされることが言える。この条件の下で確定されるユークリッド函数に対して (EF1) における テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar が効果的に決定できる方法が存在することは必要とされていないことに注意。

例

以下にユークリッド環の例を挙げる。

性質

整域 テンプレート:Mvar とその上のユークリッド函数 テンプレート:Mvar について：

全ての PID がユークリッドというわけではない。例えば テンプレート:Math のときの二次体 テンプレート:Math の整数環は PID だがユークリッドでない。他方、テンプレート:Math の場合にはユークリッドになる[8]。

しかし、自明なイデアル類群を持つ テンプレート:Mathbf の有限次拡大体の多くにおいて、その整数環はユークリッドになる（ただし、必ずしも体のノルムの絶対値に関してというわけではない。後述）。拡張リーマン予想 (ERH) を仮定すると、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mathbf の有限次拡大で、かつ テンプレート:Mvar の整数環が無限個の単元を持つ PID ならば、その整数環はユークリッドであることが従う[9]。 特にこのことを自明な類群を持つ総実二次体の場合に応用できる。さらに（ERH の仮定なしに）体 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mathbf のガロワ拡大で自明類群を持ち、かつ階数 (unit rank) が 3 より真に大きいならば、その整数環はユークリッドである[10]。 ここから直ちに得られる系として、数体 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mathbf 上ガロワで類群が自明かつ拡大次数が 8 より大きいならば、その整数環はユークリッドでなければならない。

ノルムユークリッド体

代数体 テンプレート:Mvar には体のノルム テンプレート:Mvar（各代数的な元 テンプレート:Math をそのテンプレート:仮リンク全ての積へ写す写像）の絶対値による標準ノルム写像が存在する。このノルムは数体 テンプレート:Mvar の整数環 テンプレート:Mvar を非負有理整数全体の成す集合のなかへ写すから、この環上のユークリッド函数の候補となり得る。このノルムがユークリッド函数の公理を満足するならば、数体 テンプレート:Mvar はノルムに関してユークリッド的あるいはノルムユークリッド的 (norm-Euclidean) であるという。厳密に言えば、（体は自明なユークリッド環であるし）整数環のほうがユークリッド的だということを言っているのだが、このような語法が標準的である。

「体がノルムユークリッドでない」というのは、整数環がユークリッド環にならないことを必ずしも意味しない。単に体のノルムがユークリッド函数の公理を満足しないというだけである。実際、その整数環がユークリッド環になるが自身はノルムユークリッドでないような数体は存在する。簡単な例として二次体 テンプレート:Math があるが、このような体を（特に二次体の場合に）全て決定する問題は重要な未解決問題である。

ノルムユークリッド二次体の分類は済んでおり、そのような二次体 テンプレート:Math を成す整数 テンプレート:Mvar の値は

テンプレート:Math (OEIS: テンプレート:OEIS2C).

であたえられる。

注

注釈

テンプレート:Notelist

出典

テンプレート:Reflist

参考文献

外部リンク

  1. ↑ 例えば、テンプレート:Harvnb
  2. ↑ テンプレート:Cite web
  3. ↑ 例えばテンプレート:Harv, テンプレート:Harv
  4. ↑ 例えば テンプレート:Harv, また テンプレート:PlanetMath では "Euclidean valuation" (ユークリッド賦値) と言っている
  5. ↑ 例えば テンプレート:Harv, テンプレート:Harv, また MathWorld では "integer norm" (整数値ノルム) と言っている
  6. ↑ 例えば テンプレート:Harvnb
  7. ↑ テンプレート:Nlab, 4. properties.
  8. ↑ テンプレート:Citation
  9. ↑ テンプレート:Citation
  10. ↑ テンプレート:Citation
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