一意分解環

テンプレート:WikipediaPage テンプレート:参照方法 数学における一意分解環（いちいぶんかいかん、テンプレート:Lang-en-short; 一意分解整域）あるいは素元分解環（そげんぶんかいかん）は、大雑把に言えば整数に対する算術の基本定理の如くに（特別の例外を除く）各元が素元（あるいは既約元）の積に一意に表せる可換環のことである。ブルバキの語法に従ってしばしば分解環 テンプレート:Lang とも呼ばれる。

環のクラスの中で、一意分解環は以下のような包含関係に位置するものである。 テンプレート:可換環のクラス 一意分解環の概念は非可換環に対して拡張できるテンプレート:Efn。

定義

厳密には、整域 テンプレート:Mvar の零元でも単元でもない元 テンプレート:Mvar が何れも

テンプレート:Math2

のように テンプレート:Mvar の有限個の既約元の積として書くことができて、その表示が一意であるとき テンプレート:Mvar は一意分解環であるという。ここで表示が一意であるとは、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の既約元 テンプレート:Math2 によって再び

テンプレート:Math2,

のようにも表せたとするならば、テンプレート:Math2 であって、番号の適当な並べ替えを行う全単射 テンプレート:Math2} を与えると、テンプレート:Mvar と テンプレート:Math2 とが テンプレート:Math2 のそれぞれについて同伴 テンプレート:Lang となるようにできるということを意味する。

一意性の部分の検証は一般には困難であることがしばしばであって、次の同値な条件への言い換えは有用である：整域が一意分解環となるのは、その零元でも単元でもない任意の元が テンプレート:Mvar の素元の積の形に書けるときである。

一意分解環の例

初等的な数学で目にする環の多くが UFD である：

• 単項イデアル整域 (PID), したがって任意のユークリッド環は UFD である。特に、有理整数環 テンプレート:Mathbf（算術の基本定理を参照）、ガウス整数環 テンプレート:Math やアイゼンシュタイン整数環 テンプレート:Math もこの仲間である。
• 体は零元でない任意の元が単元となる環であるので、自明な意味で UFD である。有理数体、実数体、複素数体などがこの範疇に含まれる。
• テンプレート:Mvar が一意分解環なら、テンプレート:Mvar に係数を持つ多項式環 テンプレート:Math もまた UFD である。この特別の場合として、係数環が体 テンプレート:Mvar である場合の多項式環 テンプレート:Math も（テンプレート:Math は単項イデアル整域 (PID) となるので最初の例の特別の場合でもあるが）もちろん UFD になる。

もう少し一般に、以下のような例を与えることができる：

• 形式的冪級数環 テンプレート:Math2 は、テンプレート:Mvar が体（あるいはもっと一般に主イデアル整域）ならば UFD である（テンプレート:Mvar が UFD であっても、冪級数環が必ずしも UFD とならないことに注意）。
• 決まった数の複素変数を持つ、原点で正則な函数全体の成す環は UFD である。
• 一変数多項式環の場合から帰納的に、有理整数環 テンプレート:Mathbf【あるいは、体 テンプレート:Mvar】 上の多変数多項式環 テンプレート:Math2【あるいは テンプレート:Math2 】は UFD となることが分かる。多変数の多項式環は PID ではない UFD の簡単な例である。

分解が一意とならない例

• テンプレート:Math2 を整数として $a+b\sqrt{-5}$ の形に書ける複素数全体の成すテンプレート:Ill2 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ で 6 は

$6=2\cdot 3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})$

の2通りに分解される。この環における単元は テンプレート:Math2 のみであり、テンプレート:Math2 は同伴ではないので、この2通りの分解は実際に異なる分解である。これらの4つの因子がいずれも既約元となることは、それほど明らかではないとしても、それを示すことは難しくない。代数的整数も参照。

• 多項式環の剰余環は殆どが UFD にならない。例えば テンプレート:Mvar を可換環とするとき、テンプレート:Math2 は UFD ではない。二段階に分けてそれを示そう。

  まず、テンプレート:Math2 は何れも既約元であることを示す。多項式の次数を使って テンプレート:Math2 を次数環と見なすとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Math次であるから、X が2つの零元でも単元でもない元の積に書けるとすれば、その2つの因子は 1次の元 テンプレート:Math2 と テンプレート:Math次の元 テンプレート:Mvar でなければならない。このとき テンプレート:Math2 であるから テンプレート:Math2 において 1次の元 テンプレート:Math2 がイデアル テンプレート:Math に属さなければならないが、このイデアルの零でない元は テンプレート:Math より大きな次数を持たねばならないので、必然的に テンプレート:Math2 は テンプレート:Math2 における零元でなければならない。これより テンプレート:Math2 が従うから、テンプレート:Mvar は単元であることになり矛盾を生じる。ゆえに テンプレート:Mvar は既約であり、同様に テンプレート:Math2 の既約性も示される。

  次に、剰余環において関係式 テンプレート:Math2 が成立するから、テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は同じ元を表している。先に述べたことと併せれば、これはつまり テンプレート:Math2 が同じ元の相異なる2つの既約元分解を与えることを意味するから、テンプレート:Math2 は UFD ではない。

• 一変数正則函数環は、無限個の零点を持つ正則函数が存在して、そのような函数はたとえば
  $\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{n^2})$
  のように無限個の既約因子を持つため、UFD とはならない。UFD においては有限個の因子に分解されなければならない。
• 一般に、ネーター環は必ずしも UFD ではない。任意のネーター環において、零元でも単元でもない元は必ず既約元の積として書けるけれども、この積としての表示が一意である必要は無いテンプレート:Sfn。

性質

整数に対して定義されるいくつかの概念が UFD に対しても一般化して定義される。

• UFD では既約元は必ず素元である（一般に、任意の整域において素元は必ず既約元であるが逆は必ずしも成り立たない）。また、ネーター環はその任意の既約元が素元となるならば UFD であるという意味で、部分的に逆が成立する。
• UFD のどの2つ（あるいは有限個）の元に対しても、最大公約元と最小公倍元が存在する。ここで、2元 テンプレート:Math2 の最大公約元とは テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar とをともに割り切る元（公約元）テンプレート:Mvar であって、他の公約元が全て テンプレート:Mvar の約数となるもののことである。テンプレート:Math2 の最大公約元は（複数存在したとしても）全て同伴である。
• 任意の UFD は整閉整域である。言い換えれば、テンプレート:Mvar が整域で、テンプレート:Mvar をその商体とすれば、テンプレート:Mvar の元 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar に係数を持つモニック多項式の根ならば テンプレート:Mvar は必ず テンプレート:Mvar に属する。

UFD となる条件の言い換え

ネーター環が UFD となる必要十分条件は、その高さ テンプレート:Math の素イデアルがすべて単項イデアルとなることである。同様に、デデキント環が UFD となる必要十分条件は、そのイデアル類群が自明であることである。この場合は実際には主イデアル環となる。

ネーター的ではない整域についても、それが UFD となることに同値な条件の言いかえができる。テンプレート:Mvar を整域として、以下の条件は互いに同値である。

1. テンプレート:Mvar が UFD である。
2. テンプレート:Mvar の任意の テンプレート:Math でない素イデアルが素元を含む (Kaplansky)テンプレート:Full。
3. テンプレート:Mvar が主イデアルに関する昇鎖条件 (ACCP) を満たし、テンプレート:Mvar が素元の生成する テンプレート:Mvar の積閉集合ならば局所化 テンプレート:Math2 が UFD となる（永田の判定条件）。
4. テンプレート:Mvar が (ACCP) を満たし、かつ、任意の既約元が素元である。
5. テンプレート:Mvar がテンプレート:Ill2（零元でも単元でもない任意の元が既約元の有限積に表すことができる）かつ任意の既約元が素元である。
6. テンプレート:Mvar がGCD整域（つまり、任意の2つの元についてそれらの最大公約数が存在する整域）であって、(ACCP) を満たす。
7. テンプレート:Mvar がシュライアー整域かつ分解整域である。
8. テンプレート:Mvar が前シュライアー整域かつ分解整域である。
9. テンプレート:Mvar は任意の因子が単項生成であるという因子論 (divisor theory) を持つ。
10. テンプレート:Mvar はクルル環で、任意の因子的イデアルが主イデアルとなるテンプレート:Efn2。
11. テンプレート:Mvar がクルル環で、しかも高さ 1 の素イデアルはすべて主イデアルであるテンプレート:Sfn。

実用上は、2. と 3. の条件が UFD の確認には最も有用である。たとえば PID において任意の素イデアルは素元によって生成されるから、2. から直ちに PID が UFD となることが従う。

他の例としては、高さ 1 の素イデアルがすべて主イデアルであるネーター環が考えられる。実際、任意の素イデアルが高さ有限だから、それは（高さに関する帰納法で）高さ 1 の素イデアルを含み、それは主イデアルと仮定したから、2. によりその環は UFD になる。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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• テンプレート:Lang Algebra Chapter II.5.
• テンプレート:Citation Chapter 4.
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• テンプレート:Citation

外部リンク

• テンプレート:YouTube